椭圆的几何性质-苏教版选修2-1

椭圆的几何性质

一、教学目标

１．掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； ２．掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 关系； ３．能根据条件利用工具画出椭圆． 二、教学重点：椭圆的几何性质

教学难点：椭圆离心率与椭圆关系 三、教学过程： (一)、复习回顾： （1） 椭圆的定义 （2） 椭圆的标准方程 （3） 椭圆中a,b,c 的关系 （二）、讲授新课： １．范围：

椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里．

原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x ,y ）都适合不等式,1,122

22≤≤b

y a x

即2222,b y a x ≤≤,∴b y a x ≤≤,

2．对称性：

从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。

从方程上看： （1）把x 换成-x 方程不变，图象关于y 轴对称； （2）把y 换成-y 方程不变，图象关于x 轴对称；

（3）把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，图象关于原点成中心对称。 ３．顶点：

22

22

1(0)x y a b a b +=>> 令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y 轴的交点？1A （-a ,0）,2A (a ,0) 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x 轴的交点？1B (０，－b), 2B (0,b ) (1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。

(2)长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ； (3)a 、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长； ４．离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比a

c

e =

，叫做椭圆的离心率． 说明①因为0,a c >>所以01e <<． ②e 越接近１，则c 越接近a ，从而22c a b -=

越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于０，c 越接近

于０，从而b 越接近于a ，这时椭圆就接近于圆；

③当且仅当a =b 时，c =0，这时两焦点重合，图形变为圆．

[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y 轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．]

（三）典型例题

例１ 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

解：把已知方程化成标准方程,14

522

22=+y x 这里a =５,b =4,所以31625=-=c ．

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a =10和2b =8，离心率5

3

==

a c e ，两个焦点分别是Ｆ１（－３，０）和Ｆ２（３，０），椭圆的四个顶点是Ａ１（－５，０），Ａ２（５，０），Ｂ１（０，－４）和Ｂ２（０，４）．

将已知方程变形为22554x y -±

=，根据2255

4

x y -=在０5≤≤x 范围算出几个点坐标：

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．

说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．

②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)；

解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P 、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得

a ＝3，

b ＝2．

又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程为

(2)由已知，

∴ a＝10，c＝6．

∴ b2=102－62=64．

由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为

例3如图8－8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．

解：如图8－8，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)．

因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

则

a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|

=6371＋439＝6810，

a＋c=|OB|＋|OF2|=|F2B|

=6371＋2384=8755．

解得

a＝7782.5，c＝972.5．

用计算器求得b≈7722． 因此，卫星的轨道方程是

(四)小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：

五、作业

1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标： (1)252

x +42y -100=0， (2)2

x +42y -1=0．

2、.设a,b,c 分别表示同一椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长,则a,b,c 的大小关系是

----------

2

2

222221612

1

8

9

2:9362,

1,.

y x

y x a x y C e a ------------------++=+

=+

==

=13、对于椭圆C 与椭圆：更接近于圆的是。4、椭圆

的离心率则

5.选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是