第08章单因素方差分析

1 x.. = x.. an
“.”表示对一个下标的和
第八章 单因素方差分析 一、平方和的分解与自由度的分解
（二）自由度的分解 如平方和的最后分割公式： 对于样本间的自由dfA而言，由于用 xi. 计算样本间平方 a 因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条 那么，总自由度的分割为： ( xi. x..) = 0 ，所以 和时， xi. 也受到一个条件限制，即 an j =1 件限制，即 ，所以总自由度应等于数据 ( x x ) = 0 ij (a .. 1 df = an 1 = ) a ( n 1 ) = df df 样本间的自由度为样本总数减去 1 ，即： 。 df = a 1 T A e A i =1 总个数减去 1，即：df =df an 1 对于样本内的自由度 而言，由于在计算样本内平 T e 为了估计σ2， a n SS e MS =xi. ) = 0 ， 用 SSe除以相应的自由度得误差均方 MSe： 方和时，要受到 a 个条件限制，即： ( xije
2
i =1 j =1
a
a n
x = xij = ( xij xi. ) 2 ( xij a n x ) .. a xi . )(x i. .. i =1 j =1 2 ( x x i =1 j =1 i = 1 j = 1 x.. ) ij i. ) = 0 用SSA表示处理平方和： SSA = n ( xi.
第八章 单因素方差分析 二、效应模型及其均方期望
（二）效应模型及其均方期望 效应模型： 如上所述，对于所有观测值都可用下述线性模型描述： 然而，对于固定效应模型而言，只有一个随机变量 εij ， i = 1,2, a 处理平均数与总平均数的离差 α 是个常量。因而： xij = i ij i 而对于随机效应模型而言，有两个随机变量 αi和εij，处理 j = 1 , 2 , n a a α 不再是个常量（因重复来自于无 平均数与总平均数的离差 i i = αi(也在变），而是一个独立随机变量。 xi. x.. ) = 0 限的总体，总体在变， i =1σ 2 2并且独立于 i =1 如果αi具有方差 εij ，那么观测值的方差为： α α
第八章 单因素方差分析
n a n 一、平方和的分解与自由度的分解 因为： ( xij xi. ) = 0 所以： 2 ( xij xi. )(xi. x..n )=0 （一）平方和的分解 i =1 j =1 i =1 j =1 xi. = xij a n a
由此， ( xij x.. ) = ( xij x ) ( x x ) 1 i = 1 j = 1 = ( x x ) ( x x 1 x x x x xij i =1 x..j == x = )x ij i. i. .. ( x x ) = 0 n ij .. a n a n 这就是平方和的可分割性，即：
第八章 单因素方差分析 三、单因素方差分析的检验及例题验算
固定效应模型与随机效应模型方差分析的程序完全一样，但由于获 （一）方差分析的检验程序 得样本的方式不同，致使所得结论不同。随机效应模型适用于水平的总 体，而固定效应模型只适用于所选定的 α个水平。也就是说，随机效应 1、正规检验程序 模型可推断总体状况，而固定效应模型不能推断总体状况。 Ⅰ 方差齐性检验
方差分析的基Hale Waihona Puke Baidu原理
在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起 的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素 的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思 想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效 应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确 定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和 试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明 试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比 试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。 从而作为统计推断。
2
n
i =1 j =1
用SS 表示总平方和: SST = a Tn
( xi. x..) = 0 ( x x ) ij .. a n
2

j =1
…，a)
e表示误差平方和： ( xi. x.. ) 用SS
2 i =1 j =1

n
SSe = SST SSA
i =1
i =1 j =1



i =1 j =1
an a
所以样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即： SS A 用SSA除以相应的自由度得处理均方MSA：MS = A dfe = an a = a(n 1) 。
a 1
第八章 单因素方差分析 二、效应模型及其均方期望
（一）固定效应模型与随机效应模型的概念 对于单因素方差分析而言，常用如下线性统计模 型 上述模型中，包括两类不同的处理效应：固定效应（ fixed （linear statistical model）描述每一观测值： effect）和随机效应（random effect）。固定效应是由固定因 i = 1,2, a 素（为什么要区分固定因素和随机因素呢？这是由于固定因 fixed factor ）所引起的效应，随机效应是由随机因素 x = ij i ij 素和随机因素方差分析的效应模型及其均方期望不同。 （random factor）所引起的效应。处理固定因素所用的模型 j = 1,2, n 称为固定效应模型（fixed effect model），处理随机因素所 式中：xij——第i处理（水平）下的第 j次观测值； 用的模型称为随机效应模型（ random effect model）。那么， μ——所有观测值的总平均数； 什么属固定因素？什么属随机因素？ αi——第i次处理效应； 一言以蔽之，不同属性的处理或同一属性不同量级的处 εij——随机误差成分。 理属固定因素；而同一属性无不同量级之分的组别属随机因 方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模 素。固定因素如：几个作物品种、几种不同治疗方案、几种 型中的随机误差成分εij服从正态分布N（0，σ2）的独立随 不同化学药物，几种不同的实验温度、几种不同的实验浓度 机变量，并要求各处理的方差σ2相等。 等；随机因素如：动物的若干窝组、农家肥的若干分组等。


var(xij)= σα2 + σ2 方差σα2和σ2称为方差分量（variance component）。在 这个模型中，要求εij为NID(0, σ2 )变量， αi为NID(0, σα2 ) 变 量，NID表示独立正态分布。
第八章 单因素方差分析 二、效应模型及其均方期望
（二）效应模型及其均方期望 均方期望： 对于固定效应模型而言，可以证明MSe是σ2的无偏估 计量。推导如下： 对于随机效应模型而言，处理平均数与总平均数的离差 a n a 1 1 SSe 2 n 2) = 2 ( xij 2 E2 xi. ) E不再是一个常量，而是服从 ( MSe ) = E = E[MSE (N SS 用类似方法可求得： 2 ）的随机变量。因 e ] = = n α （ 0 ， σ 从上面分析可以看出，由于随机模型和固定模型在设计 i na a i i =1 j =1 na a na a A a α 1 i =1 思想和统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式 2，但 2 而，尽管 a2 ，而不是固定 n a n E ( MS ) = E ( MS ) = n = = = ， 2 对于固定效应模型零假设 H ： 1 1 e A i =0 2 2 1 推导也有所不同，所推导的平方和及自由度的分解公式没有 a 0 = E ( ij i. ) = E ( i2 ij n i 2 i. ) 2a 2 效应的 。因此，对于随机效 E[ MS ]= i n = na n a i =1 j =1 2 na a 2 A 区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数是不同的。 i = 1 j = 1 = 0 ， E ( MS ) = ， 可以看出，只有当 ai 1 i =1 = 0 ， A i 2 2 a 2 另外，模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一 a 1 1 应模型，只有当 ， ，即 ， a n i = 1 E ( MS ) = E ( MS ) = 2 2 2 1 E ( MS ) = = 0 2 A a ) = e A 2 2 = ( na = E n 即E(MS A ) = E(MSe ) ， 佯，固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而随机模型 说明各处理平均数间差异不显著。 ij = i. na a na a i =1 j =1 说明各处理平均数间差异不显著。 i =1 则侧重效应方差的估计和检验。因此，在进行分析及试验设 计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析 来说，两种模型无多大区别。
2、单因素方差分析的实战检验程序 Ⅱ 方差分析检验 （1（ ）1 零假设：假设样本间平均数差异不显著； ） 假设 （ 2（ ）2 方差齐性检验 固定效应模型： H0 : 1 = 2 = = a = 0 H A : i 0 ）计算统计量； 2 2 （ 3 ） 计算统计量 H0 : = 0 H A : 0 随机效应模型： （3）判断假设 （4） 判断假设 Ⅲ、若拒绝 H 时进行平均数成对检验 固定模型： 当 F0 < F0.05，P>0.05，接受H0、拒绝 H A : i 0； 当F <F0.05， P>0.05 ，接受假设； 对于不等重复的平方和，总的观测次数不再是 an 次，而 : 当 F>F0.05 ，P<0.05，拒绝H0、接受 H A i 0。 当F>F0.05 ， P<0.05 ，拒绝假设，同时进行成对 t检验。 2 a 2 0； 2 随机模型： 当 F<F0.05 ， H0、拒绝 nH A : a P n>0.05，接受 1 x x 是，等方差时：进行 ， ， 2 2 Duncan LSD 检验或 等检验； .. 2 .. N = n当 SS = x F > F ， P <0.05 ，拒绝 H 、接受 。 SS = x H : i i. T 0.05 ij 0A A 0 不等方差时： Tamhane’s T2 N N 等检验。n i =1 i =1 i =1 j =1
2
2
a
n
a
n
j =1 2 可验证如下3 i .定理： .. i. an i =1 j =1 ij i. i. .. i . i.
( x
i =1 j =1
a
i =1 2 ,2,3, (i=1 总变异平方和 = 误差变异平方和 + 处理变异平方和 ij i. .. a i. ij ..
x ) = [(x x ) ( x x )]
第八章
单因素方差分析
第八章 单因素方差分析 引言、单因素方差分析的概念
前面我们学习了单样本和双样本的显著性检验方法。在 科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如： 假如我们用一对一的 t 检验， 共需检验 C52 = 10对 。 例8.1 某学者培育了一个小麦新品种，为了掌握该新品种与 R. A. Fisher（1928）创造出方差分析方法（ analysis 假设每一对检验接受零假设的概率都是 1α =0.95 现有其他4个品种的株高之间是否有显著差异，做了5，而且 个品种 variance ，ANOVA），也就是前面我们所学的F检验。方差 这些检验都是独立的， 的比较试验，结果见表 8-1，问5个小麦品种间是否有差异？ 分析为一类特定情况下的统计假设检验，它是两样本平均数 那么10对接受的概率（0.95)10=0.60， α’=1-0.60=0.40， 差异显著性检验的一种延伸。对于一个因素不同处理间的 F 显然，犯Ⅰ型错误的概率明显增加。 正确的检验结果 检验，我们称作单因素方差分析(One-way ANOVA)。 是差异显著。 那么，如何解决这类问题的检验呢？最好的方法就是 方差分析与t检验的区别： 今天所讲的方差分析。 t检验判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分 析可同时判断多组数据平均数间的差异显著性。