第九章 控制系统的非线性问题

上两式相除得
dx2 d x1

f 2 ( x1 , x 2 ) f 1 ( x1 , x 2 )
所谓等倾线是指相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的线。设斜率为k，则
k dx2 d x1
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相应于不同的k值画不同的等倾线，则可以得到相轨迹切线的方向场。从 初始点的短倾线顺序画，接近邻近的短倾线即组成相轨迹图，显然等倾 线的间隔越密集，相轨迹的精度越高。
由于能量输出不可能是无限大，所以当输入大于一定值时，对于很 多实际环节都呈现出饱和的特性。
2· 间隙
传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线特性现象。在机械传动 中，由于加工精度的限制及运动什相互配合的需要，总会有一定的间隙 存在。例如齿轮传动． 为保证转动灵活不发生卡死现象．必须并容许 有少量间隙的。由于间隙的存在，当机构作反向运动时，主动齿轮(其转 角为输入信号X1)总耍转过间隙量2b空行程后才能推动从动齿轮(其转角 为输出信号Xz)转动，形成如图所示的环状间欧特性。
例如饱和环节，当输入的正弦信号幅值大于一定值时，其输出出现切 顶，变成与输入同频率的周期非正弦信号，它可以分解成一系列正弦波的叠 加，其基波的频率与输入正弦的频率相同。
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定义 式中，N———描述函数；
N
Y1 X
1
X———正弦输入的振幅； Y1———输出的傅氏级数基波分量的振幅； 1 ———输出的傅氏级数基波分量的相位移。
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k 0
'
k 0
'
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3.跳跃谐振
对于某些非线性系统，当输入正弦波的幅值恒定，而频率连续变化时， 系统的输出幅值可能出现不连续的跳跃。
4.此外还有多值响应，次谐波振荡，频率捕捉现象，异步抑制等特殊 现象。
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三· 分析非线性系统的方法 1.线性化近似
这种方法在第二章已做过讨论，在以下两种情况下可以考虑使用： （1）非线性因素对系统影响很小，可以忽略；（2）系统的变量只发 生微小变化，此时用变量的增量方程式。
2 1 X
( X )
( X )
自动控制原理
自动控制原理
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七· 利用描述函数法分析非线性系统稳定性 对于图示的非线性系统，G(s)表示系统线性部分的传递函数，N表示 系统非线性部分的描述函数。设线性部分G(jw)具有低通滤波的特性，非 线性部分输出产生的高次谐波能够被充分衰减，则其描述函数N可作为一 个变量的增益来处理。
X o ( jw ) X i ( jw )

N G ( jw ) 1 N G ( jw )
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其特征方程为
当 G ( jw )
1 N
1 N G ( jw ) 0
时，系统输出将出现自持振荡。这相当于在线 性系统中，当开环频率特性 G 0 ( jw ) 1 时，系统将出现等幅振荡， 此时为临界稳定的情况。
式中

1

y ( t ) co s n w td ( w t ) y ( t ) sin n w td ( w t )
0

Yn
An B n
2
2
n tg
1
An Bn
如输出的直流分量等于0，即 A0 0
Y1 X 1 A1 B1
2 2
，则
a rctg A1 B1
例： （见P235）
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二· 奇点
奇点即平衡点，是系统处于平衡状态时相平面上的点。此时系统的速度 和加速度均为0.以x为横坐标，相轨迹在奇点处的斜率为0/0型。与普通点不 同，奇点可以有无数条相轨迹通过，解的唯一性不适用于奇点。
2
2 kX s s arcsin X X
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所以饱和放大器的描述函数为
2 kX N k s s arcsin X X
2 s 1 X
（ 当 X>s） （ 当 X s）
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一· 典型的非线性类型
1.饱和 当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性的环节其输入输出呈线 性关系。当输入信号Xl的绝对值超出一定范围，则输出信号xo不再发生变 化 。饱和环节的输入，输出特性如图所示：
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例如放大倍数为十倍的运算放大器，由于组件本身的电源为 15V ， 所以当输入大于 1.5V 时，输出量最多也只能是 15V ，呈现饱和 状态。
y1 ( t ) A1 cos w t B1 sin w t Y1 sin( w t 1 )
N
X
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二· 饱和放大器
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设
x ( t ) X sin w t
x s x s
当
当
时
时
y ( t ) kX sin w t y ( t ) ks
由此可见，饱和非线性的描述函数N与频率无关，它仅仅是输入信号振幅 的函数。 描述函数N的负倒数-1/N如图所示：
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三· 两位置继电特性
其输入输出特性如图所示，它可以认为是一种特殊的饱和环节。 即
s 0 k ks M
所以可以根据饱和环节的描述函数N来求出两位置继电器的描述函数为 2
（2）相轨迹的各条曲线均不相交，过平面的每一点只有一条轨迹；
（3）自持振荡的相轨迹是封闭曲线；
（4）相轨迹若过x轴，必然垂直穿过。
在作相轨迹时，考虑对称性往往能使作图简化。
设方程为 当
.
x f ( x, x) 0
.
.
..
..
.
f ( x, x) f ( x, x)
.
x 时，相平面图对称于x轴。
2.逐段线性近似法
3.描述函数法
描述函数方法是非线性系统的频率法，适用于具有低通滤波特性 的各种阶次的非线性系统。
4.相平面法
相平面法是非线性系统的图解法，由于平面在几何上是二维的，因此 只适用于最高为二阶的系统。 5.李雅普洛夫法 6.计算机仿真
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§9-2 描述函数法
一· 定义 对于非线性系统，当输入是正弦信号时，输出稳定后常不是正弦的， 而是与输入同频率的周期非正弦信号。
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二· 非线性系统的几种特殊现象
1.自持振荡或极限环 例一：
m x f (1 x ) x kx 0
2 .. .
( f 0)
该非线性方程所表示的系统的阻尼项是非线性的。当 x 1 时，阻尼为 负，向系统输入能量，系统有发散的趋势。当发散到一定程度 x 1 时， 阻尼为正，系统输出能量，系统有收敛的趋势。收敛到 时又发散， x 1 如此循环。因此，该系统将持续振荡，而不取决于初始条件和外力作用。
由于系统通常具有低通滤波特性，其它谐波各项通常比基波项小，所以 可以用基波分量近似系统的输出。
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设非线性环节的正弦输入为 x ( t ) X sin w t 则输出为
y ( t ) A0
An Bn 1
(A
n 1
2 0 2
n
co s n w t B n sin n w t )
N 2k s s arcsin X X s 1 X
2k s s X X 4M
X
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其描述函数N的负倒数-1/N如图所示：
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四· 死区 正弦输入时的输入输出关系如图：
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时，相平面图对称于 轴。
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当 f ( x, x)
f ( x, x)
2.等倾线法 能用解析法作相平面图的系统只限于比较简单的系统，对于大多数非线 性系统很难用解析法求出解。 对于一般的二阶系统可表示为
dx1 dt f 1 ( x1 , x 2 ) dx 2 f ( x , x ) 2 1 2 dt
B1 4k 1
y1 ( t ) B1 sin ( w t )


w t1
2
y ( t ) sin ( w t ) d ( w t )
0


/2
1 co s 2 w t X sin ( w t ) d ( w t ) 2
2 1 X

2 kX

arcsin X X 2
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则
N
Y1 X
1
B1 X
0
o
2k arcsin k X X
1 X
2
所以死区的描述函数：
2k k arcsin N X X 0
自动控制理论
第九章
控制系统的非线性问题
§9-1 概 述 §9-2 描述函数法 §9-3 相轨迹法 课后习题
§9-1 概 述
严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，总是存在诸如死区， 饱和，Leabharlann Baidu隙等非线性现象。所谓线性系统只是在一定的工作范围内，非线 性的影响很小，以致可以忽略而已。 对于相当多的闭环系统，可采用第二章所述的线性化方程解决非线性 问题；但也有一定数量的非线性问题不能这样处理，只能采用其它的方法。
设
则当 0 w t 时
x ( t ) X sin w t
0 y (t ) k ( X sin w t )
(0 t t1或

w w ( t1 t t1 ) w
t1 t

)
因输出为奇函数，所以将y ( t ) 展开成傅氏级数时，有 An 0 取傅氏级数基波，得 式中
一· 相轨迹的作图法 1.解析法 即解微分方程 d x f ( x , x ) 1 1 1 2 式 x 2 g ( x1 ) 。 例: (见P233-234)
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d x2 f 2 ( x1 , x 2 )
，直接得到相轨迹的表达
可以看到相平面的一些性质：
（1）当选择x作为横坐标时，在上半平面，相轨迹向右移动，箭头向右， 在下半平面，相轨迹向左移动，箭头向左。
稳定性的分析：
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§9-3 相轨迹法
相轨迹法是适用于二阶非线性系统的几何解法。一般的二阶系统均可 .. .. 以表示为 x f ( x, x) 0
dx1 f 1 ( x1 , x 2 ) 也可以用两个联立的一阶微分方程表示，即 dt dx 2 f ( x , x ) 2 1 2 dt dx2 f (x , x ) 2 1 2 d x1 f 1 ( x1 , x 2 )
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3.死区 死区也称不敏感区，在输入信号很小时是没有输出的。当输入信号增 加到某个值以上时，该元件才有输出。通常以阀值，分辨率等指标衡量。
死区的输入输出特性如图所示：
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4，继电特性
继电特性的常见形式如图所示。其中(a)为两位置理想继电特性。继电器 的拍合与释放电流都很小时，可视为这种特性。 (b)为具有死区的三位置 理想继屯特性。
两式相除得
x 2 g ( x1 )
解该式可得 这样，以x1为横坐标，以X2为纵坐标，便构成分析系统的相平面。系统的 每一状态均相当于平面上的一点，以时间t作为参变量变化时，该点在平面 上对应的曲线就是相轨迹。
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相轨迹的起始点就是初始值[x1(0),x2(0)],其轨迹表示在某一输入激励 下系统的反应。如果相轨迹趋于无穷大，则系统不稳定；如果相轨迹趋于 原点，则系统稳定；如果相轨迹最后形成围绕原点不断循环的环，则系统 存在极限环的持续振荡。
An 0
因为输出为奇函数，所以 取傅氏级数的基波 其中
B1 4 1
2
y1 ( t ) B1 sin w t



y ( t ) sin ( w t ) d ( w t )
0


2 0
y ( t ) sin ( w t ) d ( w t ) s 1 X
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2.频率对振幅的依赖 ..
例2： 即
..
m x f x kx k x 0
' 3 . ' 2
.
m x f x k k x ） x 0 （
该非线性方程表示的系统的弹性刚度是非线性的，且与位移有关。
当 k ' 0 时，称为硬弹簧，随着振幅的加大，弹性刚度也不断加大， 振动的频率加大。 当 k ' 0 时，称为软弹簧，随着振幅的加大，弹性刚度不断减小，振 动频率也减小。 波形图如图所示：