1.行列式的定义
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2 2
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
证明： 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面 带有正号 因此 D=a11a22a33 ann
三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x1 = D1 x2 = D2 x3 = D3 D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
提示: [a11x1+a12x2=b1] a22 a11a22x1+a12a22x2=b1a22 [a21x1+a22x2=b2] a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2
二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
a1n D= an1 =(-1)ta1na2 n-1 an1 =(-1)t12 n
其中t为排列n(n-1) 21的逆序数 故 t=0+1+2+ +(n-1) = n(n -1) 2 n(n -1) 因此 D = (-1) 2
0 1 0 1
1 0 0 1
ห้องสมุดไป่ตู้
解 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0 第1列只 能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为 a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以 D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
注： （1）n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个数 的乘积 a1 p1 a2 p2 ...anpn的代数和。其中 p1 p2 ... pn 构成一个n级排列，当p1 p2 ... pn 为偶排列时，
a1 p1 a2 p2 ...anpn 取正号，当 p1 p2 ... pn 为奇排列 a 时， 1 p1 a2 p2 ...anpn 取负号。共有n!项。
n 阶行列式的定义
一、二阶行列式和三阶行列式的结构
二、n阶行列式的定义
三、几种特殊的行列式
一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构
a11 a21
a12 a22
=a11a22-a12a21
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
例如三阶行列式的结构可归纳如下： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成
a1p1 a2 p2 a3 p3
其中p1 p2 p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(-1)t 其中t为列标排列的逆 序数 （3）总共有P3=3!项，即项数等于1、2、3三个数构成的排列 总数。 a11 a12 a13 三阶行列式可以写成 a a a = (-1)t a a a
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
=-4-6+32-4-8-24 =-14
全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数 的步骤 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为321=6 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
21 22 23
其中t为排列p1 p2 p3的逆序数 ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1 p2 p3取和
a31 a32 a33
1 p1 2 p2 3 p3
二、n阶行列式的定义 由矩阵A= (aij) 中的n2个数aij (i j=1 2 n)构成的代数和 称为n阶行列式 记为
n ( n -1) 2
a1,n a2,n -1...an,1
3.对称行列式与反对称行列式
a11
定义：设
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
则称D为对称行列式 则称D为反对称行列式.
D=
a21 an1
若 若
aij = a ji aij = -a ji
(2)4阶及4阶以上的行列式无对角线法则可言。
三、几种特殊的行列式
1.对角行列式 (1)主对角行列式
1 2
= 12 ...n
3
(2)次对角行列式 D =
n
2
1
= (-1)
n(n -1) 2
12 n
证明：若记i=ai n-i+1 则依行列式定义
三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
排列的对换
对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得 到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换
性质1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性
举例 在排列21354中 对换1与4 得到的排列是24351 排列21354的逆序数是2 排列24351的逆序数是5 经过对换 排列的奇偶性发生了变化
第三章 行列式
• §1
• §2 • §3 • §4
n阶行列式的定义
行列式的性质与计算 行列式与矩阵的逆 行列式的应用（求矩阵的秩）
§1 二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
（2）上三角行列式
a11 0 0 ... 0
a12 a22 0 ... 0
a13 ... a1n a23 ... a2 n a33 ... a3n = a11a22 ...ann ... 0 ... ... ... ann
（3） 次下三角行列式
0 0 ...
... ...
0 ...
a1,n ... = (-1)
n ( n -1) 2
... a2,n -1 a2,n
a1,n a2,n-1...an,1
an,1 ... an,n-1 an,n
（4） 次上三角行列式
a11 ... a1,n -1 a1,n a21 ... a2,n-1 ... ... ... 0 an,1 ... 0 ... 0 = (-1)
1 2 n
a2,n -1
a11 a21 （1）下三角行列式 D = a 31 an1
2.三角行列式
0 0 0 a22 0 0 a32 a33 0 = a11a22 ann an2 an3 ann
(-1)t a1p1 a2 p2 anpn
a12 a22 an2 a1n a2n ann
a11 a21 D= an1
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 特别规定一阶行列式|a|的值就是a
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 -4 1 -2
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
123 132 213 231 312 321
全排列 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元 素的全排列(也简称排列)
n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pn=n(n-1)(n-2) 321=n!
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列 叫做偶排列 逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说 元素pi的逆序数是ti 排列的逆序数为t=t1+t2+ +tn
11
a2
1
2 2 2
1
11
1
a2
1
2
a2
a2
2
a11 a1 我们用 表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行 a2 2 1 a2 列式 行列式中的相关术语 行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线 对角线法则 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二 元素之积所得的差 a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
a11 a1 我们用符号 表示代数和a11a22-a12a21 这样就有 a2 2 1 a2 b1 2 a1 a11 b1 b2 2 a2 b 2 x1= ———— x2= ———— 1 a a2 a a a
补充例题
例1 在6阶行列式det(aij)中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前 应取什么符号? 解 列标排列532416 它的逆序数为 t=0+1+2+1+4+0=8 它是偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号
0 例2 用行列式定义计算行列式 D = 1 0 0
1 0 1 0
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
证明： 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面 带有正号 因此 D=a11a22a33 ann
三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x1 = D1 x2 = D2 x3 = D3 D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
提示: [a11x1+a12x2=b1] a22 a11a22x1+a12a22x2=b1a22 [a21x1+a22x2=b2] a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2
二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
a1n D= an1 =(-1)ta1na2 n-1 an1 =(-1)t12 n
其中t为排列n(n-1) 21的逆序数 故 t=0+1+2+ +(n-1) = n(n -1) 2 n(n -1) 因此 D = (-1) 2
0 1 0 1
1 0 0 1
ห้องสมุดไป่ตู้
解 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0 第1列只 能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为 a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以 D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
注： （1）n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个数 的乘积 a1 p1 a2 p2 ...anpn的代数和。其中 p1 p2 ... pn 构成一个n级排列，当p1 p2 ... pn 为偶排列时，
a1 p1 a2 p2 ...anpn 取正号，当 p1 p2 ... pn 为奇排列 a 时， 1 p1 a2 p2 ...anpn 取负号。共有n!项。
n 阶行列式的定义
一、二阶行列式和三阶行列式的结构
二、n阶行列式的定义
三、几种特殊的行列式
一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构
a11 a21
a12 a22
=a11a22-a12a21
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
例如三阶行列式的结构可归纳如下： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成
a1p1 a2 p2 a3 p3
其中p1 p2 p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(-1)t 其中t为列标排列的逆 序数 （3）总共有P3=3!项，即项数等于1、2、3三个数构成的排列 总数。 a11 a12 a13 三阶行列式可以写成 a a a = (-1)t a a a
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
=-4-6+32-4-8-24 =-14
全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数 的步骤 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为321=6 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
21 22 23
其中t为排列p1 p2 p3的逆序数 ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1 p2 p3取和
a31 a32 a33
1 p1 2 p2 3 p3
二、n阶行列式的定义 由矩阵A= (aij) 中的n2个数aij (i j=1 2 n)构成的代数和 称为n阶行列式 记为
n ( n -1) 2
a1,n a2,n -1...an,1
3.对称行列式与反对称行列式
a11
定义：设
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
则称D为对称行列式 则称D为反对称行列式.
D=
a21 an1
若 若
aij = a ji aij = -a ji
(2)4阶及4阶以上的行列式无对角线法则可言。
三、几种特殊的行列式
1.对角行列式 (1)主对角行列式
1 2
= 12 ...n
3
(2)次对角行列式 D =
n
2
1
= (-1)
n(n -1) 2
12 n
证明：若记i=ai n-i+1 则依行列式定义
三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
排列的对换
对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得 到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换
性质1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性
举例 在排列21354中 对换1与4 得到的排列是24351 排列21354的逆序数是2 排列24351的逆序数是5 经过对换 排列的奇偶性发生了变化
第三章 行列式
• §1
• §2 • §3 • §4
n阶行列式的定义
行列式的性质与计算 行列式与矩阵的逆 行列式的应用（求矩阵的秩）
§1 二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
（2）上三角行列式
a11 0 0 ... 0
a12 a22 0 ... 0
a13 ... a1n a23 ... a2 n a33 ... a3n = a11a22 ...ann ... 0 ... ... ... ann
（3） 次下三角行列式
0 0 ...
... ...
0 ...
a1,n ... = (-1)
n ( n -1) 2
... a2,n -1 a2,n
a1,n a2,n-1...an,1
an,1 ... an,n-1 an,n
（4） 次上三角行列式
a11 ... a1,n -1 a1,n a21 ... a2,n-1 ... ... ... 0 an,1 ... 0 ... 0 = (-1)
1 2 n
a2,n -1
a11 a21 （1）下三角行列式 D = a 31 an1
2.三角行列式
0 0 0 a22 0 0 a32 a33 0 = a11a22 ann an2 an3 ann
(-1)t a1p1 a2 p2 anpn
a12 a22 an2 a1n a2n ann
a11 a21 D= an1
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 特别规定一阶行列式|a|的值就是a
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 -4 1 -2
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
123 132 213 231 312 321
全排列 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元 素的全排列(也简称排列)
n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pn=n(n-1)(n-2) 321=n!
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列 叫做偶排列 逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说 元素pi的逆序数是ti 排列的逆序数为t=t1+t2+ +tn
11
a2
1
2 2 2
1
11
1
a2
1
2
a2
a2
2
a11 a1 我们用 表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行 a2 2 1 a2 列式 行列式中的相关术语 行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线 对角线法则 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二 元素之积所得的差 a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
a11 a1 我们用符号 表示代数和a11a22-a12a21 这样就有 a2 2 1 a2 b1 2 a1 a11 b1 b2 2 a2 b 2 x1= ———— x2= ———— 1 a a2 a a a
补充例题
例1 在6阶行列式det(aij)中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前 应取什么符号? 解 列标排列532416 它的逆序数为 t=0+1+2+1+4+0=8 它是偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号
0 例2 用行列式定义计算行列式 D = 1 0 0
1 0 1 0