一道高考数学试题的魅力赏析

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（） Ａ
的大 圆直径 的下端 点．又 由于圆的对称 性， 当 小 圆在 大 圆的右 下方 、右 上方 及左 上方 上 滚
动 时 点 Ｍ 、Ⅳ 运 动 的轨 迹 是 相 互 垂直 的两 直
（ Ｃ） （ Ｄ）
径．
图１
虽说这是一道选择 题， 经研 究感 到其魅力 十足．
圆 心 为 点 Ｂ，原 来 的 点 Ｍ 此 时 位 于 点 Ｍ １ ， 处
Hale Waihona Puke 滚过大圆 内壁的一周， Ｍ 、Ⅳ在大 圆内所绘 点 出 的 图形 大 致 是 … … … … … … … … （ ）
由于 大 圆弧 长 Ｍ Ｄ与 小 圆 弧 长 Ｍ１ Ｄ相 等 及
大 圆 半 径 是 小 圆 半 径 的 ２倍 ，知 ２ ＡＭ ＮＤ ＝ Ｍ１ ＢＤ．在 小 圆 中 ２ ⅣＤ ＝ ／ １ ／ Ｍ ＢＤ， 因
９ ３ －２
数 学 款 学
２１ 年第 ９ ０２ 期
一
道 高考 数 学试 题 的魅 力赏析
３ ２ １ 福建省泉州市马 甲中学 肖 忠 游 明珍 ６０ ４
２ １ 年全 国高考江西卷理科试题第 １ 题： ０１ ０ 如 图 ｌ 一个直径为 １ ， 的小 圆沿着直径为 ２ 的大 圆 内壁 按逆 时针方 向滚 动， 和 Ⅳ 是 小 圆 的 Ｍ 条 固 定 直 径 的 两 个 端 点 ．那 么 ，当 小 圆 这 样
动 到 点 Ⅳ】 ，由 于 Ｂ ＝ ＢＮ１ ＝ Ｂ０，则 处 ／ ＥＯＮ１＝ ９ 。 可 知 点 Ⅳ１ 与 Ｍ （ 垂 直 的直 ０， 在 ） 径 的下 半 段 ．由前 面 的 分 析 知 ， 点 Ｍ 运 动 到 当
大 圆 的 圆 心 点 （ 时 ，点 Ⅳ 则 位 于 与 Ｍ （ 垂 直 ＝ ） ＝ ）
一
好两 圆， 按住大 圆， 依题 目要求滚动小 圆， 察 观 点 Ｍ 与点 Ⅳ 的运 动轨迹 ， 照选项 中 的图形， 对 就 能得 出答案． 当 然 ，此 题 也 可 进 行 如 下 严 谨 推 导 ：不 妨 设 直 径 Ｍ Ⅳ 初 始 位 置 在 水 平 线 上 且 大 圆 的 圆 心 为 点 （ （ 图 ２ ，当小 圆 由公 共 点 Ｍ 位 置 二如 ） ） 沿 大 圆 的 左 下 方 内 壁 滚 动 到 点 Ｄ 时 ，设 小 圆
魅 力 一 ： 有较 强 的挑 战性 具 作 为 高 考 试 题 ， 在 很 短 的 时 间 内完 成 ， 要 对 应 试 者 的 知 识 、 能 力 、 智 慧 有 很 高 的要 求 ， 具 有 较 强 的 挑 战性 ．
图２
在 平 时的教 学中， 我们 提倡动手操作 、实 物感 知．在考场 上， 圆规 在草稿纸 上分别 画 用 出 直 径 是 ２ ｌ的 两 个 圆 ， 用 小 刀 将 它 们 划 与 再 下来 ， 然后在 小圆上 画出直径 Ｍ Ⅳ， 图样摆 依
ｌ ．
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２
图５
坐标 系， 设小 圆圆心 为 Ｂ（ｏｙ）设 点 轨迹 ｘ，ｏ， 上 任意 一 点 Ｐ（，） Ａ ＣＤ ＝ ｘＹ 及 Ｏ ．由于大 圆
圆 弧 ＯＤ长 度 与小 圆 圆弧 Ｐ 的 长度 相 等 及 Ｄ
将 题 中 具 体 数 字 字 母 化，设 一 定 圆其
半 径 为 Ｒ，动 圆 半 径 为 ｒ ，点 Ｍ 轨 迹 又 是 什
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图３
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图４
１ ２
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数 学麸 学
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３
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故点Ⅳ的轨迹是过大圆圆心
且 与 点 Ｍ 轨 迹 垂 直 的大 圆直 径 ． 魅 力 二 ：具 有 较 高 的探 究 性 此 题 中大 圆的直 径是 ２ ，小 圆 的 直 径 是 １ ，
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３
若 大 圆 的直径 换成 ３ 小 圆的直 径仍 为 １ 小 而 ， 圆仍 沿 大 圆 滚 下，点 Ｍ 的轨 迹 又 是 什 么 呢？ 只 要 在 前 面 坐标 法 的基 础 上稍 作 改变，即可 找 到 答 案． 前 面 坐标 法 那 样 建 立平 面 直 角 如
利 用 直 角 坐 标 系， 用 解 析 方 法 求 轨 迹 使
也 是 常 用 的手 段，因此 可 考 虑 建 立 直 角 坐 标 系 来解 决 问题．以过 大 圆 圆心 Ｃ的 水平 直 线 为 Ｘ轴 ， Ｘ轴 与 大 圆 的 左 交 点 为 原 点 ， 立 建
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此 ， Ｍ ⅣＤ ： ／ ⅣＤ．又 由于 点 Ｍ 、Ｍ 】 、
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一
Ⅳ 在 直线 ＤⅣ 的 同一侧， 点 、 故 、Ⅳ 共 线， 即点 Ｍ 运动的轨迹在线段 Ｍ Ⅳ 上． 不妨设 小 圆 滚 动 到 点 Ｄ 时 ，点 Ｍ 在 点 处 ，点 Ⅳ 运
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数 学牧 学
１
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②
３
由 、 得 ｃ ，点 轨 ① ② ｛＝一 故 Ｍ 【 ０
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迹 是 以 点 （ 为 端 点 的 大 圆 的 直 径 ． 由 于 小 圆 ＝ ）
直 径 的 两 个 端 点 关 于 小 圆 的 圆 心 成 中心 对 称 ， 点 Ｐ的 对 称 点 Ｐ 的坐 标 满 足 关 则 ｘ， ） Ｙ ｒ ：】 ， ．