专题三：不定方程的整数解问题(含答案)

初中奥林匹克竞赛培优：不定方程的整数解问题

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。 【基础知识】

1．不定方程整数解的常见类型： （1）求不定方程的整数解； （2）判定不定方程是否有整数解；

（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程整数解问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等； （2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质； （4）枚举法：列举出所有可能的情况；

（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （6）无穷递推法。

【典型例题分析】 一、代数恒等变形 1、因式分解法

【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求2

2

x y +的最大值. 分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=

因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨

-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或22

21

x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩

解得43x y =⎧⎨

=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或1

0x y =⎧⎨=⎩

故2

2

x y +的最大值为25

注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，

可变形为：2

0a xy abx acy ad +++= 分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.

求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，

转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆

⎧⎨+=⎩

，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

【例2】求方程22

3720x y x y -+--=的整数解(,)x y .

分析：原方程可化为2

2

44122880x y x y -+--=，配方得2

2

(23)(27)320x y +-++= 所以(5)(2)8x y x y ++--=-

因为(5)x y ++和(2)x y --的奇偶性不同

得5821x y x y ++=-⎧⎨

--=⎩，或5128x y x y ++=-⎧⎨--=⎩，或5821x y x y ++=⎧⎨--=-⎩，或5128

x y x y ++=⎧⎨--=-⎩

解得：(,)(5,8),(2,8),(2,1),(5,1)x y =---- 2、配方法

【例3】求2

2

3320x xy y x y ++-+=的非负整数解(,)x y 的组数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

分析：由2

2

3320x xy y x y ++-+=，配方得2

2

2

2

4(3)()(2)13x x x y y +-++++= 当2x ≥时，左边2

41613x ≥≥> 当0x <时，左边2

(3)1613x ≥-≥> 所以0x =或1

当0x =时，代入原方程得0y = 当1x =时，代入原方程得0y =或3- 因此共有3组非负整数解.

3、分离整数法

【例4】已知,x y 是整数，满足30,0x y ax y a -+=--=，则整数a 的所有可能值有（ ）个

A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

分析：由30,0x y ax y a -+=--=，得34

111a x a a

+=

=-+

--为整数 根据整除性质，可知：11,2,4a -=±±±，即3,1,0,2,3,5a =--共6个值. 【例5】求(1)51x x xy y -++=的正整数解.

解：原方程可化为251(2)(1)4949

(2)111

x x x x y x x x x -++-+++===-+++++

因为x 为正整数，且

49

1

x +是整数，所以17x +=或49，即6x =或48 当6x =时，3y =；当48x =时，450y =-<舍去 故所求正整数解(,)(6,3)x y =

4、换元法

【例6】已知：,x y 为整数，且

y =

，求y 的最大值为 .

分析：原方程可化为y =

令a b =

= 则y a b =+

22(2009)(2011)4020a b x x -=+--= 2()()23567a b a b ∴+-=⨯⨯⨯

因为(),()a b a b +-具有相同的奇偶性，且都是正整数. 故y a b =+的最大值为235672010⨯⨯⨯=. 二、奇偶分析法

【例7】证明方程2

2

86x y z +-=无整数解.

分析：不妨设原方程有整数解，因为2

2

68x y z +=+为偶数，所以,x y 具有相同的奇偶性.

若,x y 都是偶数，令2,2x a y b ==，代入原方程，化简，得2

2

2243a b z +-=，左右奇偶数不同，矛盾。

若,x y 都是奇数，令21,21x a y b =+=+，代入原方程，化简，得(1)(1)21a a b b z +++-= 因为(1),(1)a a b b ++都是偶数，所以上式左边为偶数,右边奇数，矛盾. 综上，原方程无整数解。