第7讲_叠加原理、互补原理和互易定理

r r r r ˆ ˆ 如果v中的源 J 1 ,M 1和S上的边界条件 n × E1 或 n × H 1 所 r r r r 确定的区域v中场为 E1 ,H 1，源 J 2 ,M 2 和S上的边界条 r r r r ˆ ˆ 件 n × E2 或 n × H 2 所确定的区域 v 中的场为 E2 ,H 2，则 r r r r 当v中同时存在 J 1 ,M 1 和 J 2 ,M 2 ，并且S上边界条件为 r r r r ˆ ˆ n × E1 + E2 或 n × H 1 + H 2 已知时，则v中的场为 r r r r E1 + E2 , H 1 + H 2
种情况: ① 无任何屏 ② 放置一开孔的无限大理想导体平面，孔面积为A，导 体面积为S ③ 放置情况②的互补磁屏，即，去掉无限大理想导体 平面，孔面积部分用理想磁体平面替代。
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
【例7-1】已知图7-3所示的窄导体板所构成的对称振子 天线的辐射场，求图7-4所示的缝隙天线的辐射场。
图7-3 窄导体板对 称振子
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I1 + I 2 = I 0
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
图7-1 光学巴比涅原理
光学巴比涅原理中涉及的光强度是标量场，不是矢量 场，不能直接用于电磁场。用于电磁场的巴比涅原理 是英国人Booker1946年给出的。
高等电磁场
第七讲
叠加原理、互补原理和互易定理
褚庆昕
华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所 Email:qxchu@scut.edu.cn
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v中 s上
第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
显然
r v v v ∇ × ( E1 + E 2 ) = − M 1 + M 2 − μ
(
)
r r ∂ H1 + H 2
(
)
v中 s上
r r r r ∇ × H 1 + H 2 = J1 + J 2 + ε ∂t r r v v ˆ ˆ n × ( E 1 + E 2 ) 或 n × H 1 + H 2 已知
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η=
μ 波阻抗 ε
第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
r r M J
导体 r r M J 电 壁
rd r d Et H t
（c）
z
图7-2 电磁场巴比涅原理 (c)互补电屏
第七讲内容
叠加原理 Babinet互补原理 Lorenty互易定理
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
7.1 叠加原理
由于Maxwell方程为线性方程，所以满足叠加原理。 【叠加原理】考虑闭合曲面S的包围的体积v中的区域，
应用互补原理，有
re rd r E + ZH = Ei = 0 r e 1 rd r H − E = Hi = 0 Z
故
re rd E = − ZH r e 1 rd H = E Z
re rd r ⎧ Et + η H t = Ei ⎪ r r ⎨ re −1 d ⎪ H t − η Et = H i ⎩
z>0区域
仿照上面的两种互补原理的过程，在实际应用中还 可以导出各类问题的互补关系。 互补原理的最大好处是通过互补关系，从一类问题 的解得到其互补问题的解。
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
rd r d 设对偶振子的辐射场为 E , H ，缝隙天线的辐射场 re r e r r r r 为 E , H 。由于没有z<0区域的源，故 Ei = 0,H i = 0 ，
(
)
(
)
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
证明：因为
r v v ∂H 1 ∇ × E1 = − M 1 − μ ∂t r r r ∂E1 ∇ × H 1 = J1 + ε r r ∂t ˆ ˆ n × E 1 或 n × H 1 已知
第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
【电屏与互补电屏的互补原理】
在实际应用中往往更需要第四种情况的互补关系：在 z=0平面上放置情况②的互补电屏，即，去掉无限大 理想导体平面，孔面积用理想导体平面替代。 这个问题正是情况③的对偶问题，如图7-2(c)所示。 根据哈林顿对偶原理，只要给出下列变换
v v J ⇔ M /η v v M ⇔ ηJ v v E ⇔ ηH v v H ⇔ − E /η
Babinet（巴比涅）原理源于光学（1837年提出）， 阐述了光学中关于完全吸收的衍射屏与它的互补盘的 衍射场的关系。如图7-1，观察一光源s在观察点P处 的光强。设s与P之间无任何障碍物时P 的光强为I。 当s与P之间有一衍射屏时，P点的光强为I1。当衍射 屏用它的互补屏替换时，P点的光强为I2。巴比涅原 理指出
图7-4 缝隙天线
第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
解： 从形状上看，两种天线构成了电屏与互补电屏的关 系。两种天线的激励源位置相同，均在天线的中间 部位。但两种源的电场方向相互垂直。 由于是求远区辐射场，所以源都可以看作是电偶极 子点源。根据电磁场理论，当电偶极子点源旋转900 后产生的场，等价于对偶于原电偶极子点源的磁偶 极子点源产生的场。于是两种天线完全满足电屏与 互补电屏的互补关系。
r r 设在第一种情况，源产生的场为 Ei ,H i ，第二种 re r e 情况下，源在z>0区域中产生的场为 Et ,H t ，第三 rm r m 种情况下，源在z>0区域中产生的场为 Et ,H t，则
在z>0区域
re rm r ⎧ Et + Et = Ei ⎪ ⎨ re rm r ⎪ Ht + Ht = Hi ⎩
第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
孔
孔
z
z
图7-2 电磁场巴比涅原理 (a) z=0面放置开孔无限大导电平面 (b)互补磁屏
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
v中 s上
r v v ∂H 2 ∇ × E2 = − M 2 − μ ∂t r r r ∂E 2 ∇ × H2 = J2 + ε r r ∂t ˆ ˆ n × E 2 或 n × H 2 已知
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证明： 对于第二种情况，z=0的边界条件为
re ˆ n × Et = 0 re ˆ n× Ht
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s面上(导体) A面上
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第七讲 叠加பைடு நூலகம்理、互补原理和互易定理
将第二种情况与第三种情况的场叠加，相应的边界 条件也叠加，即
re rm r ˆ ˆ n × Et + Et = n × Ei re rm r ˆ ˆ n × Ht + Ht = n × Hi
( (
) )
s面上 A面上
而这种边界条件正好是第一种情况下z=0平面上场满 足的边界条件，根据电磁场唯一性定理可知，z>0区 域产生的场也一定相同，即
re rm r Et + Et = Ei re rm r Ht + Ht = Hi
z>0区域
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
电磁场巴比涅原理
【电屏与互补磁屏的互补原理】
r r 如图7-2，源 J ,M 分布在z<0的有限区域中，z=0面上分三
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
则情况③就变换成为情况④的问题。设在对偶源的 rd r d 激励下，对于情况④，z>0区域的场为 Et , H t ，则 互补关系为
e − jkR 2 2 R 其中， = ( x − x ') + ( y − y ') ，因此 ∇ R 是与平 r 面共面的矢量。故 H s 为与z=0平面垂直的矢量，在 re ˆ z=0平面上 n × H s = 0 ，所以 re r ˆ ˆ n × Ht = n × Hi
rm ˆ 同理，在z=0平面上 n × E s = 0 ，即 rm r ˆ ˆ n × Et = n × Ei
(
) (
)
∂t v v ∂ ( E1 + E 2 )
(
)
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7.2 Babinet互补原理
【光学巴比涅原理】
射电场，它是A面磁壁上的感应面磁流产生的。
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第七讲 叠加原理、互补原理和互易定理
s面上面电流源在A面产生的磁场可表示为
re ⎛ e − jkR Hs ∝ ∇ × ⎜ ⎝ R r ' ' ⎞ ⎛ e − jkR ⎞ r' ' ∫s J s ds ⎟ = ⎜ ∇ R ⎟ × ∫s J s ds ⎠ ⎝ ⎠
对于第三种情况，z=0的边界条件为
rm ˆ n × Et rm ˆ n× Ht = 0
s面上 A面上(磁体)
根据感应原理，在z=0面上
r re re ˆ ˆ n× Hi + Hs = n× Ht r rm rm ˆ ˆ n × Ei + Es = n × Et
( (
) )
s面上 A面上
re 式中，H s为第二种情况下z<0区域的散射磁场，它是s面电 rm 壁上的感应面电流产生，E s 为第三种情况下z<0区域的散