固定收益证券讲义(4债券数学)分解

当期数趋向于无穷时 (如永续年金)
cF 1 P 1 T r 1 r F cF T T 1 r r
• 例：
– 每年支付$ 100的永续年金值多少钱？ – 假设折现率为5% – 答案：
100 P $2,000 .05
T
T
当现金流都一样时（被称为年金），

• 付息债券的价值（ F 是债券面值）
T
cF F cF 1 P 1 T T t (1 r ) r 1 r 1 r t 1
F 1 r T 4源自– 注意，当r =c时， P=F
P
t 0
1
(100 0.08625 ) / 2
160 t 184

100 (1 3.21% / 2)
1 160 184
(1 3.21% / 2) 105.56
12
全价与净价
xz ait F c / 2 x 100 0.08625 / 2 24 /184 0.563
5
到期收益率 (YTM)
该收益率使得债券的现值等于债券价格。 若交割日恰好是付息日，则

Ct P t (1 YTM ) t 1
• YTM 是基于内部收益率(IRR)计算的。
– – – – YTM可通过试错法（ trial-and-error）计算 YTM是半年为单位的利率(息票通常是半年支付一次) 现金流用同样的收益率折现 隐含了收益率曲线是平坦的假设
例：106.30 = 106
30/32
= 112.9375%
9
非付息日的全价与净价

如果交割日不是付息日，全价应如何计算？
交割日(SD)
上一个息票支付日(LCD)
下一个息票支付日(NCD)
– 按照“华尔街规则”的计算方法是
F c / 2 F P t W T 1W (1 y / 2) (1 y / 2) t 0
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例： 下面列出了1991 年5 月23 日到期的美国短
期国库券，在1990年12 月14 日交割的报价。
卖出贴现收益率 6.76 收益率 7.06
报价日 买入贴现收益率 1990-12-14 6.78


使用买入贴现收益率，发票价格为 Pt =100*(1-160*0.0678/360) =96.98667 使用卖出贴现收益率，发票价格为 Pt =100*(1-160*0.0676/360) =96.99556 注意：贴现收益率与收益率是不同的。 why
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国库券（T-Bills）

交割日(SD) 和到期日(MD) 的时间轴。


贴现收益率(discount yield) nd FP B P F (1 ) d B F n F 是面值，P是T-Bill的现值，B是一年的基本天数 (360或365)。 在美国，B取360；英国、日本取365等等。



c=7.75 , x=184 , z=120 , x-z= (SD-LCD)=64, 则应计利息为 ait =7.75/2*64/184 = 1.3478 使用出价，发票价格为 Pt =100+19/32+1.3478 =101.94155 使用要价，发票价格为 Pt =100+21/32+1.3478 =102.00405
固定收益证券
主讲人：何旭彪
2017年10月25日
1
第四章 债券数学
§4-1 计算实际收益率
§4-2 风险和债务证券 §4-3 凸性
2
§4-1 计算实际收益率

现金流C0的时间价值
1期：C1= C0 (1+ r ) r为利率，通常以年为单位。 N期：Cn = C0(1+ r )n

更一般的，现金P以 r年利率投资，每年 支付次n利息 ，投资T年，回报为
净价=全价 - 应计利息 =105.506-0.563=104.943

13

例： 到期日为1991 年11 月15 日，息票利率为
7.75 % 的美国中期国债， 1991 年7 月18 日交割的 报价如下：
报价日 出价 1994-07-18 100.19 要价 100.21 收益率 5.81
r nT P (1 ) n
r nT lim P(1 ) Pe rT n n
r变成了连续复利
3

债券现值的计算步骤：
找出债券的现金流
现金流折现
Ct P t (1 r ) t 1
C C 1 P 1 T t (1 r ) r t 1 1 r
T
6
到期收益率 (YTM)

假定 持有至偿还期 无违约风险 再投资收益率等于到期收益率本身 无回购条款
7
债券等价收益率

债券等价收益率(BEY)：将YTM转换为年利率 （华尔街规则）y = 2 YTM，则
n Ct F c / 2 F P t t n (1 y / 2) t 1 (1 y / 2) t 1 (1 y / 2) T

若交割日恰好是付息日， P = 全价 = 净价 = 报价
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债券报价

到期日为2021 年11 月15 日，息票利率为8.00 % 的美国国债，1992 年1 月9 日交割的报价如下：
报价日 出价 1992-01-09 106.30 要价 107.00 收益率 7.41

价格
标出的是面值的百分数。 整数 + n/32ths (国库券) or + n/8ths (公司债券)
T 1
z 其中：W x
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应计利息

债券的报价(市场价格)通常是净价

净价 = 全价 - 应计利息（ait）
xz ait F c / 2 x
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全价与净价

例
US treasury note, 票面利率8.625%，到期日8/15/2003，
交割日 9/8/2002，计算在到期收益率为3.21%时的全价 与净价.
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在美国，T-bill同bond的收益率不能直接比较：
年的天数不一样，360 vs 365天
收益率计算不一样，面值 vs 现值