数列中常见的数学思想方法

数列中常见的数学思想方法

数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。

最近几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质。通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降。其中重要的数学思想方法有函数与方程思想、归纳法思想、分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想、算法思想等，注重思想方法的学习，可以在数列的学习中起到事半功倍的效果，有助于我们对数列的深入学习和掌握。

一、方程思想

在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想。

利用方程组解决数列中知三求二的问题，具体解题过程中会用到加减消元法和代入消元法来求方程组的解，属于比较简单的问题。其中体现出列方程组解题的思想，有助于利用已知的知识解决未知问题的过程。

二、整体思想

整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面的应用。整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中运用。处理数学问题的着眼点或在整体或在局部，它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系、对应关系、相互联系及变化规律。从而找出最优解题途径的重要的数学思想。在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知、想着目标，、步步正确推理就够了。

三、分类讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，

然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整

个问题的解答。引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

四、函数思想

把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是关键，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；

数学思想方法，从接受的难易程度可分为三个层次：一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。

基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”（而不是说“初等数学”）的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。

中学数学教育、教中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想，本文中仅就数列中常见的思想方法进行探讨。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，使我们更便于从一个新的高度和角度来思考和学习数列。