机械振动与隔离

12.1.2 基本概念复习
1 ．机械振动基本概念 1） 机械振动的类别 （1） 按回转机械振动特征分： ① 转轴的横向振动。转轴的弯曲所产生的振动，亦即垂直于轴线方向的振动。 ② 转轴的扭转振动。转轴的扭转所产生的振动，亦即绕轴线的振动。 （2） 按产生机械振动的原因分：
① 自由振动。当系统的平衡被破坏，只靠其弹性恢复力来维持的振动。它的 频率为系统的固有频率。
q1 = q A coswt
q 2 = q B coswt q3 = qC coswt
l2
l1
可解得频率方程式，并可由此方程式求得两个临界速度：
w4 - (
k1 k1 + k2 k2 2 1 1 1 + + )w + k1k2 ( + + )=0 JA JB JC JA JB JB JC JC JA
第十二章 机械振动与隔离
12.1 12.2
内容提要及基本概念 本章重点、难点
12.3
典型例题精解
12.1 内容提要及基本概念
12.1.1 内容提要
本章要求掌握以下几个方面： １．机械振动的类别 1） 按回转机械振动特征分 ① 转轴的横向振动。转轴的弯曲所产生的振动，亦即垂直于轴线方向的振 动。
② 转轴的扭转振动。转轴的扭转所产生的振动，亦即绕轴线的振动。
② 系统各个特性参数的线性化。
所谓线性化即假定弹性力与位移成线性关系；阻尼力与速度成线性关系； 惯性力与加速度成线性关系。总之，在精确度要求能满足的前提下尽量是复杂 的非线性关系线性化。 ③ 系统中质量和刚度的等效。 应用动力等效原理，将若干质量（或转动贯量）等效成一个等效质量 （或等效转动贯量）。此时的激振力也要等效成作用在等效质量上的激振。同 时将若干刚度变换成一个等效刚度。 ④ 忽略系统动态响应中次要的因素。
② 受迫振动。在外界激振力的持续作用下，系统被迫产生的振动。它的频率 为外界激振力的频率。 2） 引起机械振动的原因 引起机械振动的原因主要有：
（1） 运转机械的不平衡： 根据运动特点，机械一般可分为回转式和非回转式。 回转式机械如泵、电机等的动、静平衡容易做到。 非回转式机械如内燃机、冲压机等的完全平衡很难做到。其机械振动的 频率常等于机械的转数或其倍数。 （2） 作用在机械上的外载荷的变化： 作用在机械某些构件上的外力或外转矩的不均匀会引起横向振动或扭转 振动。 （3） 高副机构高副形状误差引起： 齿轮的齿形误差引起扭转振动。凸轮表面误差引起机构振动。 （4） 机器周围的冲压设备引起的冲击力振动：
令圆盘１和２处的振动量作简谐变化，即：
y1' = ( y1 + e1 ) sin wt ' y2 = ( y2 + e2 ) sin wt
解上面振动微分方程得到频率方程式：
a11m1w 2 - 1 a12 m1w 2 =0 2 2 a21m2w a22 m2w - 1
上面公式中，影响系数aij表示在 j截面处作用单位载荷使 i截面处产生的变形量。 圆盘对称配置，转轴的两临界速度值为：
d 2q1 J A 2 + kθ(q1 - q 2 ) = F coswt dt d 2q 2 J B 2 - kθ(q1 - q 2 ) = 0 dt
若解为：
q1 = q A coswt
q 2 = q B coswt
可求得转轴在圆盘Ａ、Ｂ处的最大角位移：
kθ Q -w2) JB JA qA = k k w2( θ + θ -w2) JA JB k Q - θ JB JA qB = k k w2( θ + θ -w2) JA JB -(
解为：
k w = JA
2
（a） （b）
2 1 w = k( + ) JB JA
2
θC θB θC
θA
w2 =
k JA
θ A= θ C
w2 = k(
2 1 + ) JB JA
两个不同ω值的振型图分别为（a）和（b）所示。
4 ．机械系统振动模型建立的基本原理
机械系统在一般情况下应看作为一个弹性系统，为使分析简化，常将机 械系统简化为某种振动系统。 为了得到简化的振动模型，需阐述实际机械的简化原则及振动特性参数的转 化方法。 1）实际机械的简化原则 实际机械的简化过程为：一方面对机械系统的振动特性参数（质量、刚 度、阻尼）进行等效、转化和简化，另一方面对系统的某些次要的固有特性 加以忽略。 对实际机械系统进行简化的主要内容和方法如下： ① 系统中各特性参数分布规律的简化。 机械中离散（连续分布）的质量、刚度等，为便于计算，可将它们用集 中质量和刚度代替。其中，弹性较小，质量较大的构件可以简化为不计弹性 的集中质量；弹性较大，质量较小的构件可以简化为不计质量的弹性元件； 除了集中阻尼外，构件中阻尼较大部分可简化为不计质量和弹性的阻尼元件
由此求得两个临界速度。 4 ．转轴的扭转振动 ① 装有两圆盘转轴的扭转振动及其临界角速度ωc为
Kq Kq wc = ， +
JA JB
式中：Kθ为主轴段的扭转刚度， JA、 JB分别为A、B圆盘的转动惯量。 ② 装有3个圆盘的转轴的扭转振动及其临界速度，可利用下列频率方
程式求得二个临界速度
K1 K1 + K2 K2 1 1 1 2 w -( + + w + + + ) K1 K2 ( ) =0 JA JB JC JA JB JB JC JC J A
2） 按产生机械振动原因分 ① 自由振动。当系统的平衡被破坏，只靠其弹性恢复力来维持的振动。其 频率为系统的固有频率。 ② 受迫振动。在外界激振力的持续作用下，系统被迫产生的振动。其频率 为外界激振力频率。 2 ．减小及控制振动的方法 1）减小振动——减小或消除振动源的激励 2）防止共振——防止或减小设备、结构对振动的响应
wc1 =
k m(a + b)
wc2 =
k m(a - b)
双圆盘的挠性轴必须使转轴的工作速度不与两个临界速度中任何一个相重合， 否则均将发生共振现象。一般情况下，挠性轴的工作速度最好为：
1.4 wc1≤ w ≤ 0.7 wc2
3 ．转轴的扭转振动 转轴在高速回转时，由于轴的扭转变形而产生绕轴线的振动，称之为轴 的扭转振动。
y2
假设在圆盘处作用有两个离心力 m1ω2（y1+e1）和m2ω2（y2+e2）。
假定振动系统为线性，用影响系数法可建立转轴的振动微分方程式：
' ' ' 1 2 y1 = -a11m1 y - -a12m2 y ' ' ' 1 2 y2 = -a21m1 y - -a22m2 y
3） 采取隔振措施——减小或隔离振动的传递 3 ．转轴的横向振动 ① ② 单圆盘转轴的横向振动及其临界角速度ωc为 盘质量，k为圆盘处轴的刚度系数。
wc = k m
， 式中：m为圆
双圆盘转轴的横向振动及其临界速度，利用影响系数法得频率方程式
a11 m1 w2 -1 a12 m2 w2 =0 2 2 a21 m1 w a22 m2 w -1
冲床、锻床等产生的冲击力，使机器引起振动。
3） 减小及控制振动的方法
减小和控制振动的方法可分为三类： （1）减小扰动——减小或消除振动源的激励。
（2）防止共振——防止或减小设备、结构对振动的响应。
（3）采取隔振措施——减小或隔离振动的传递。隔振措施有两种： ① 隔离振源——积极隔振。 通常又称为主动隔振或动力隔振，使周围环境或建筑结构不受机械振动 的影响。 ② 隔离响应——消极隔振。 通常又称为被动隔振或防护隔振，用于隔离或减小运动的传递，使精密 仪器设备不受基础振动的影响。
4
式中：K1、K2分别为A－B轴段、 B－C轴段的扭转刚度， JA、JB、 JC分 别为圆盘A、B、C的转动惯量。
5 ．机械系统振动模型建立的基本原理
将机械系统简化为某种振动模型可以分析机械系统的动力特性，这是机 械动力学重要内容之一。 将实际机械系统进行简化的主要内容和方法如下： ① 系统中各特性参数，质量、刚度和阻尼分布规律的简化。 ② 系统中各个特性参数的线性化。 ③ 系统中质量和刚度的等效。 ④ 忽略系统动态响应中次要的因素。
JB
可求得转轴的临界速度：
kθ - (kθ - J Aw 2 ) =0 2 - (kθ - J Bw ) kθ
临界速度为： w=
l
JA θB JB
kθ kθ + JA JB
θA =
N
θA JA
qB JA =并且： qA JB
其振幅沿轴向呈线性变化，如图所示。
JA + JB
l
JB JA + JB
l
② 带有两圆盘转轴的受迫扭转振动。 若在圆盘Ａ上作用一个周期性变化的外力矩，即引起受迫振动。两圆盘的运 动方程式
d 2q1 J A 2 + kθ(q1 - q 2 ) = 0 dt d 2q 2 J B 2 - k1 (q1 - q 2 ) + k2 (q 2 - q 3 ) = 0 dt d 2q 2 J C 2 - k 2 (q 2 - q 3 ) = 0 dt
θ C
θ2
3
θ
1
k2
JB
k1
A
JC
JA
假定每个圆盘运动为：
6 ．机械系统的隔振和消振
1） 主动隔振
对于本身是振源的设备，为了减小它们对周围其他设备的影响，将它们 与地基（或支承）隔离起来。这种将振源进行隔离，防止振动传递开去的隔 振称为主动隔振。 2） 被动隔振 对于需要隔振的设备，为了减小周围振源对它的影响，需要将它与整个 地基（或支承）隔离开来。这种将设备进行隔离，防止周围振源传给设备的 隔振称为被动隔振。 3） 动力隔振 动力隔振方法是在防振设备上附加一个辅助系统以改变其振动状态，使 防振设备的受迫振动被辅助系统所吸收，从而达到减振的目的。
在轴上作用交变的外力矩或惯性力矩等都会引起轴的扭转振动。 1）带有两圆盘转轴的扭转转动及其临界速度 TA=kθ(θ2—θ1) θ
2
TB=kθ(θ2—θ1)
θ
d
1
B
A
B JB
A JA
l
kθ = 转轴的扭转刚度： T
d 2q 2 JB 2 dt
d 2q1 JA 2 dt
q
=
IG 其中Ｇ为轴剪切弹性模量；Ｉ为轴极惯性矩。 l
系统中阻尼较小时，若只是求系统的固有频率或远离共振区的强迫振动 的振幅，则可忽略阻尼的作用；但若要求系统的共振振幅时，阻尼则是不能忽 略的。对多自由度系统，若各振动体之间相互影响很小时，可忽略彼此间的影 响而简化为几个单自由度系统，并分别加以计算。
2 ．转轴的横向振动
转轴是各种机械中的转动构件的总称。 转轴在高速回转时，由于轴的弯曲变形而产生垂直于轴线的振动称为轴 的横向振动。 （1）单圆盘转轴的横向转动及其临界速度 图示，根据达朗伯原理可得：
O2 O1 O
O
m w2(y+e)=ky
式中，m为圆盘的质量； w 为转轴角速度；k为轴在圆盘 处的刚度系数。
2
,则得到：y =
的 转速等于临界转速时，y为任意值，即轴可以取任意的挠度转动。若在此轴上 在加上冲击力，则轴将引起额外的可能很大的弯曲变形。这种在临界速度下, 转轴可以作任意弯曲转动，称之为随遇平衡。 （２）双圆盘转轴的横向转动及其临界速度
0 0
在此情况下，当轴
e1
e2 m1
m2
y1 y1+ e1 y2+ e2
πd 4 I= 32
① 带有两圆盘转轴的自由扭转振动。 自由扭转振动时，两圆盘的运动方程式
d 2q1 J A 2 + kθ(q1 - q 2 ) = 0 dt d 2q 2 J B 2 - kθ(q1 - q 2 ) = 0 dt
若解为：
q1 = q A coswt
q 2 = q B coswt
JＡ
① 将圆盘A固定，JA=∞。两个扭振临界速度由下式求得：
w4 - (
k1 + k2 k2 2 k1k2 + )w + =0 JB JC JB JC
k2
JC JB
k1
② 两边圆盘相对于中间圆盘对 称布置，则 k1=k2=k ， JA=JC 。 方程简化为：
4
1 1 2 k2 2 1 w - 2k ( + )w + ( + ) = 0 JA JB JA JB JA
O
Hale Waihona Puke Baidu
由上式解得：
mw 2 e y= = k - mw 2 e k -1 mw 2
β
O2 e
O1 O
y
当
k -1 = 0 mw 2
时，得转轴的临界角速度ωc为：wc = k
m
转轴的临界角速度即此轴在横向振动时的固有频率。当转轴的转速接近 临界转速时，轴的挠度趋向无穷大，称为共振。 当ω=∞时，轴的挠度y=－e。 挠度关系式中，取e=0， m w =k
θA， θB
θA
θB
kq JB kq+ kq JA JB
θB θA
ω
转轴的临界速度仍为：
w=
kθ kθ + JA JB
2）带有三圆盘转轴的扭转转动及其临界速度 图示三圆盘A、B、C转动惯量分别为JA、JB、JC。三个扭转角分别为θ1、 θ2、θ3。两个轴段的刚度为k1 、 k2。若θ1＞θ2＞θ3，则运动方程为：