第二章：弹性力学的基本原理

主要参考教材
参考教材： 《断裂理论基础》，范天佑著，科学出版社，2003； 《工程断裂力学》，黄维扬编著，航空工业出版社， 1992。 《损伤理论及其应用》 余天庆，钱济成 编著，国防 工业出版社，1993年； 《岩石混凝土损伤力学》 谢和平 著，中国矿业大学 出版社， 1990年； 《混凝土损伤与断裂—数值试验》 唐春安，朱万成 著，科学出版社，2003年。 《损伤与断裂力学》张行著，北京航空航天大学出版 社，2006年。
(1 2 ) 3 E (K ) 2 2 2(1 ) 3K (1 2 ) 3KE 2(1 ) 9K E
E 3K 2 3K E 1 2( ) 3K 2 2(3K ) 6K
31 11
应力圆(Mohr圆)
11 22 11 22 2 2 N 12 2 2
2 2
1 11 22 11 22 2 12 2 2 2
平衡方程与运动方程
11 12 13 2 u1 f1 0 2 x1 x2 x3 t 21 22 23 2 u 2 f 2 0 2 x1 x2 x3 t 31 32 33 2 u3 f 3 0 2 x1 x2 x3 t
第二章：弹性力学的基本原理
§2.1 应力分析 2.1.1 应力与应力张量 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 2.1.3 应力张量的坐标变换 2.1.4 剪应力互等定理 2.1.5 主应力与应力张量不变量 2.1.6 最大剪应力 2.1.7 应力圆(Mohr圆) 2.1.8 应力张量分解为球张量和偏(斜)张量 2.1.9 正八面体上的正应力与剪应力 2.1.10 平衡方程与运动方程
(3 2 ) (1 )(1 2 ) 9 K ( K ) E 3K 9K 2 (1 ) 3K (1 2 ) 3K
2 (1 ) 2 (1 ) K 3 3 3(1 2 ) E E . 3(3 E ) 3(1 2 )

1 2 ,
+2


1
.
A.体积改变定律：应力球张量与应变球张 量成正比，比例系数为3K。即
0 ij 3K 0 ij
B. 形状改变定律：应力偏量与应变偏量成 正比，比例系数为2 。即
Sij 2 ij
各向同性物体的应变能密度
1 2 1 2 2 W ij ij ( ) ij ij 2 2 3
2 11 2 22 2 12 11 22 12 2 , 2 , 2 2 2 2 x 2 x1 x1x2 x 2 x1 x1x2
2 2 2
2 33 2 11 2 31 2 , 2 2 x1 x3 x3x1
通过微元的平衡方程得到柯西(Cauchy)方程， 方程的张量形式：
T
( n) j
ni ij
矩阵形式：
T1( n ) 11 12 13 n1 (n) T2 21 22 23 n 2 T ( n ) 32 33 n 3 3 31
3 i 2
应力状态特征方程，其三个系数分别为：
11 12 22 23 33 I2 21 22 32 33 13 11 12 13 I 3 21 22 23 31 32 33
I 1 11 22 33
断裂力学专题部分授课主要内容
理论基础部分 弹性力学的基本原理 弹性力学的平面问题 无限大平板含扁椭圆孔的问题 线弹性断裂力学 断裂力学 二维脆性断裂力学 主要内容 三维脆性断裂力学 非线性断裂力学 不同距离力源作用条件脆性破裂的稳定性和止裂 受压裂纹的扩展 断裂力学的应用部分（主要是在地震 利用的应用） 裂纹系问题 微破裂的演化
WV WF
WF ij ij
1 Wv K 2 2

3 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 12
2 2 2 [(11 22 ) 2 ( 22 33 ) 2 ( 33 11 ) 2 6(12 23 31 ]
ij 2ij ij
广义虎克定律也可以写成以应力分量表示 应变分量的形式： 1 ij Leabharlann Baiduj (3 2 ) I 1 ij 2
考虑温度(膨胀)效应时的广义虎克定律
1 ij ij (3 2 ) I1 ij α(T T0 )δij 2
2
应力张量分解为球张量和偏(斜)张量
Sij ij 0 ij
J 1 S11 S 22 S 33 0
S J1 S J 2 S J 3 0
3 2
S11 S12 S 22 S 23 S 33 S 31 J2 S 21 S 22 S 32 S 33 S13 S11 1 2 2 2 [( σ11 σ 22 ) 2 ( 22 33 ) 2 ( 33 11 ) 2 ] ( 12 23 31 ) 6 1 2 2 2 [( σ1 σ 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6 3 2 2 3 0 I 2 0 , 2 S11 S12 S13 J 3 S 21 S 22 S 23 I 3 I 2 0 2 02 S 31 S 32 S 33
在弹性力学中，应力分量与应变分量间成 一一对应的关系, 且通常为线性关系，称 之为广义虎克定律。 11 2 11 , 23 2 23, 22 2 22 , 31 2 31, 33 2 33 , 12 2 12.
断裂与损伤力学
主讲：大连大学材料破坏数值试验中心 朱训国 授课班级：大连大学建筑工程学院结构工程 2009级研究生
断裂力学最初是从材料强度问题的研究 中发展起来的。断裂力学的研究对象，是 含有裂纹型缺陷的固体材料中的应力分析、 材料强度以及裂纹的扩展规律。它是近廿 多年来迅速发展起来的固体力学的一个新 的分支。虽然时间很短，却在工程技术及 许多科学领域中获得广泛的运用，成为固 体力学中一个极为活跃的部分。
在考虑温度(膨胀)效应时, 应变能为
W 2 ij ij (T T0 ) 2

应变能定理(克拉贝龙定理) ：如果弹 性体在无限缓慢加载的条件下，始终处于 平衡状态时，弹性体内的应变能等于在变 形过程中所作的功。
贝蒂定理: 第一组力对第二组力产生的位 移(指在第一组力的各个作用点上的位移)所 做的功，等于第二组力对第一组力产生的 位移所做的功。
应变张量分解为球张量和偏斜张量
ij 0 ij ij
变形协调方程：意义是用形变积分得到位 移是单值函数。满足它的必要条件是：物 体内部任何一个体积微元在变形之后仍能 保持相互的连续性。满足它的充分条件则 要求用形变积分得到位移与积分路径无关。 变形协调方程可以统一写成：
ij 'kl kl 'ij ik ' jl jl 'ik
ij, j f i 0( ui )
主应变及应变张量不变量
I '1 I '2 I '3 0
3 i 2
三个系数I’1, I’2, I’3分别为为应变张量的第 一、第二、第三不变量 I '1 11 22 33 11 12 22 23 33 31 I '2 21 22 32 33 13 11 11 12 13 I 3 21 22 23 31 32 33
Tx( n ) xx T y( n ) yx (n) T zx z
xy xz l yy yz m zy zz n
I1 I 2 I 3 0
ij 2ij ij (T T0 ) ij
E 1 2
弹性常数及其相互之间的关系
2 ( E 2 ) 2 K 1 2 3 E 3 E 3K 3K (3K E ) , (1 )(1 2 ) 1 9K E
23 31 12 2 11 x x x x x , x1 1 2 3 2 3 23 31 12 2 22 x x x x x , x 2 1 2 3 3 1 23 31 12 2 33 x x x x x x 3 1 2 3 1 2
§2.2 应变 2.2.1 应变与应变张量 2.2.2 转动与转动张量 2.2.3 位移导数张量及其分解 2.2.4 应变分量的坐标变换 2.2.5 主应变及应变张量不变量 2.2.6 应变张量分解为球张量和偏斜张量 2.2.7 变形协调方程 2.2.8 有限变形－可加应变
§2.3 线性弹性 §2.4各向同性物体的广义虎克定律 2.4.1 一般的表示 2.4.2 考虑温度膨胀效应时的广义虎克定律 §2.5 弹性常数及其相互之间的关系 §2.6体积改变定律与形状改变定律 §2.7 线弹性各向同性物体的应变能密度 2.7.1 体积变形应变能 2.7.2 形状改变应变能 §2.8 应变能定理(Clapeyron定理) §2.9 功的互换定理(Betti定理及马克斯威尔定理) §2.10 卡斯提杨诺定理