量子力学 1-振动-波动

λ =T ⋅v
•波长λ也可以看做空间周期，时间t一定时，相位改变一个2π的最短距离。
λ
t1=t-τ，0 t1
t=t1+τ
x=vτ
t，x
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参考点（ x=0） 的振动方程：
u(0,t) = A⋅sin(ω t + φ0 )
则坐标为x处t时刻的振动状态可以由参考点传播过来，需要时间τ =x/v。因 此，坐标为x处t时刻的振动状态可以看做参考点（t-τ）时的振动状态：
特解： u(r, t) = Ae i(ωt−k⋅r ) （简谐波或正弦行波或平面波）
其中，波矢k是矢量，其方向等于波传播的方向，其大小满足：
⏐k⏐ = ω / v=2π /λ
波动方程的解可以表示成许多正弦行波的叠加，即
∞
令 ω = β / m 上式转变为
d 2un dt 2
= ω 2 (un+1 + un−1 − 2un )
离散系统波动方程 13
设弹簧的长度为a→0，则可看做连续系统，故有：
un+1
− un
=
∂u ∂x
x = xn
a
+
1 2
∂2u ∂x 2
a2
x = xn
un−1
− un
=
−
∂u ∂x
x = xn
或
x = Aei(ωt+ϕ0 )
1）振幅A：代表质点偏离中心的最大距离。
A2 ∝ E
2）相位ϕ，代表简谐振动在一个周期内所处的运动状态。初相位ϕ0。
ϕ = ωt + ϕ0
单位；弧度（rad）
ϕ
3）周期T，频率ν，角频率ω
ν=1
T
ω = 2πν = 2π ----单位时间相位的改变
T
T单位：秒（s）；ν单位：s-1，赫兹（Hz）；ω单位：弧度/秒 （rad/7s）
第一讲 量子力学基础
1
主要内容
振动和波动 量子力学的诞生 量子力学的基本原理 薛定谔方程的应用举例
2
物理学是一门探讨物质结构和运动基本规律的学科。依据 物质运动的形态，经典物理可分成力（包括声）、热、电、 光、磁学等分支。
然而，某些形态的运动是横跨所有这些学科的，其中最典 型的要算振动和波了。力学有机械振动和机械波、电学中有 电磁振荡和电磁波，光是一种电磁波。
波动的基本概念
•振动在空间的传播叫做波动
波线
球
平
面
面
波
波
波面
•波面：同相位点所组成的面 •波线：表明波动传播方向的线 •波的相速（波速）：波面沿波线的传播速度
•常见的波：机械波；电磁波
•纵波：振动方向和波的传播方向相同; 横波：振动方向和波的传播 方向垂直
•经典物理中，波动传播的是能量，介质本身并没有沿波的传播方向移动
T
v k
=
2π
= 2πν~
λ
波矢
v(波速）= λ = λν = ω
T
k
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经典波动方程
以一维弹簧振子链为例：
第n个质点（xn=na；a为弹簧长度）偏离平衡位置的位移为un，
弹簧回复力系数为β。
m
d 2un dt 2
= −β (un
− un+1) − β (un
− un−1) = β (un+1 + un−1 − 2un )
小结
简谐振动：振动位移随时间周期变化
u(t) = Asin ωt
振幅A，周期T，频率ν，角频率ω
ω = 2π
T
波动：振动位移随时间和空间位置周期变化
波函数： u ( x, t ) = A e i⋅(ω t−kx )
周期
时域： T 空间： λ
波长
频率
ν=1
T
ν~ = 1 λ
波数
角频率
ω = 2π = 2πν
源自文库
U = 1 βx2 2
回复力（保守力）： F = − dU = −βx
dx
运动方程：
− βx = m&x&
通解：
&x&+ ω 2x = 0 ω = β / m
x = A ⋅ sin(ωt + φ0 )(实数形式） x = Aei(ωt+ϕ0 ) = A~eiωt (复数形式)
•简谐振动的动力学特征：势能为位移的平方函数或者力与位移成负正比 关系。运动学中位移表现为时间的正弦或余弦函数。
u( x, t) = A ei⋅(ω t+kx) 沿-x方向传播的简谐波
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波动特征参数
周期
频率
角频率
时域： T 空间： λ
ν=1
T
ν~ = 1 λ
ω = 2π = 2πν
T
v k
=
2π λ
= 2πν~
波长（cm） 波数（cm-1） 波矢（角波数或空间频率）
v(波速）= λ = λν = ω
T
k
波速v： 振动状态（位相）传波的速度，又称相速。 11
•通常把这种一维简谐振动的质点系统称为谐振子。
5
简谐振动的运动学特征
x = Asin ωt ωT = 2π
(φ0 = 0) T = 2π ω
x=0
x
A
x=A
0
-A
x=-A
Tt
(1) （时域）周期运动 x(t)=x(t+T )
(2)等幅振动
6
简谐振动的特征参量
x = A⋅sin(ω t + φ0 )
u(
x,
t
)=u
令：
(
x, =
t− A⋅
τ) = A⋅ sin[(ω t
sin[ω (t −τ
−
ω
v
x)
+
φ0
) ]
+ =
φ0
A
]= A⋅sin[ω (t − ⋅sin[(ω t − kx) +
x v
)
+
φ0
]
φ0 ]
<波函数>
k
=
ω
v
=
2π
vT
=
2π λ
复数表示：
称为波矢
u( x, t) = A ei⋅(ω t−kx) 沿x方向传播的简谐波
a
+
1 2
∂2u ∂x 2
a2
x = xn
故有：
∂2u ∂t 2
= ω2a2
∂2u ∂x 2
∂2u ∂t 2
− v2
∂2u ∂x 2
=
0
令v = ωa为波速
------一维经典波动方程 14
三维波动方程
∂2u ∂t 2
−
v2
∂2u ∂x 2
=
0
∂
2u(r, ∂t 2
t
)
−
v
2∇2
u(r,
t)
=
0
<三维>
量子力学某种程度上又被人称为波动力学。
3
振动
振动是一种重要的运动形式。 振动有各种不同的形式：
机械振动：位移 x随时间t的往复变化
电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化 微观振动：如晶格点阵上原子的振动 广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在某一数值附近 反复变化。
4
一维简谐振动
势能：
•波的典型行为：干涉和衍射 （本质均为：相干叠加）。
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波动示例---简谐波
•振动只是运动状态随时间变量作周期变化，而波动运动状态既随时间变量， 又随空间变量作周期变化。
•令u代表运动状态的变量（即相对平衡位置的位移），u是时空变量t、x的 函数，记作u(x,t)，称为波函数。
•波动是振动状态沿空间的传播，即可以看做相位沿空间的传播。设相位传 播的速度为v，称为波速（相速）。在一个周期内，振动状态传播的距离称 为波长λ。