第1篇有限元基本理论

❖ 每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上 所有外力的势能组成。
单元的应变能
平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的应变能 为：
单元的应变能（续）
将{ε}和[Bi]代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则, 注意到弹性矩阵[D]的对称性,有：
单元的应变能（续）
因为矩阵[B]及[D]的元素都是常量，所以可记：
ANSYS软件及其工程应用
四川大学水利水电学院 费文平
主要内容
❖ 第1章 有限元基本理论 ❖ 第11章 网格划分
❖ 第2章 ANSYS功能简介 ❖ 第12章 加载求解技术
❖ 第3章 ANSYS基本过程 ❖ 第13章 后处理技术
❖ 第4章 ANSYS入门与准备 ❖ 第14章 结构非线性分析
❖ 第5章 模型输入及修复 ❖ 第15章 模态分析
❖ 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并 接受该种单元类型所假定的单元形函数。
❖ 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必 须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述 所要求解的问题。
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 就整个直杆来说，位移函数U(x)是未知的，但对每
简 有限元离散 (假定单元内位移函数)
单 化
单元的位移场
单元节点关系
求解区域的位移场、应力场
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
➢ 所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到 结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。 这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模 型。
位移模式
取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元位移法 中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点 位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式， 也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。
单元的总势能
❖ 我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结 构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最 接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值 的那组位移函数。
❖ 由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就 使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。 为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。
❖ 第6章 坐标系
❖ 第16章 耦合和约束方程
❖ 第7章 选择、组件与部件 ❖ 第17章 APDL基础
❖ 第8章 实体建模技术
❖ 第18章 子模型
❖ 第9章 布尔操作
❖ 第19章 热分析
❖ 第10章 单元属性
❖ 第20章 热-应力耦合分析
第一章 有限元基本理论
物理系统
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
❖ 选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单 元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的 分布规律。
❖ 利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知 量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度 问题化为离散域中有限自由度问题。
位移模式（续）
位移插值函数
采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线 性函数：
它们可以由结点位移确定如下：
位移模式(续)
联立求解上述方程，可得：
位移模式(续)
其中： 而： 是三角形ijm的面积。
位移模式(续)
于是可以得到：
其中： 同理得：
位移模式(续)
可以将位移模式改写为矩阵模式：
单元中的应变和应力
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
1.5 自由度(DOFs)
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
ROTX UX
结构 DOFs
问题
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
1.6 节点和单元
载荷
节点:空间中的坐标位置，具有一定 自由度和存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
li 1
li
2
q(li1 li ) 2
为第i个结点上承受的外载荷
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
EA a
EA a
(2u2
u3)
qa
(u2 2u3 u4)
qa
EA a
(u3
u4 )
qa 2
[k ][ ] [ p ]
设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所 受到的表面力为：
则单元上表面力的势能为：
单元节点上集中力的势能
如果弹性物体受到集中力{R}e 的作用，通常划分单元网格时 都在集中力的作用点设置结点。设某单元3个结点上所受到 的集中力为：
于是该单元上集中力的势能是：
单元中的总势能
❖ 综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：
A
B
.. .
分离但节点重叠的 单元A和B之间没有 信息传递（需进行 节点合并处理）
A
B
...
具有公共节点 的单元之间存 在信息传递
1.6 节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
I L
I P
M L
I
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I
K
二维或轴对称实体单元 L
UX, UY
{ } [u 2 u 3 u 4 ]T
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
{ p} [qa qa qa / 2]T
2 1 0
[k ]
EA a
1
2
1
0 1 1
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 联立求解线性代数方程组得：
u 5 qa 2 2 2 EA
u 8 qa 2 3 2 EA
u q qa 2 4 2 EA
1.9 有限单元法解题的一般步骤
❖ 结构的离散化 ❖ 选择位移模式 ❖ 建立平衡方程 ❖ 求解节点位移 ❖ 计算单元中的应力和应变
1.9.1 结构的离散化
❖ 将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的 单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合 体去代替原来的结构。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维实体热单元 TEMP
1.7 单元形函数
• FEA仅仅求解节点处的DOF值。 • 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 • 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的 “形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 • 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响 求解精度。
几何体
1.3 物理系统举例
载荷
物理系统
结构
热
电磁
1.3.1 平衡方程
x
x
yx
y
zx
z
X
0
xy
x
y
y
zy
z
Y
0
xz
x
yz
y
z
z
Z
0
1.3.2 几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy yz
v x w y
u y v z
zx
u z
w x
1.3.3 物理方程(本构方程)
1.9.6 计算单元中的应变和应力
❖ 依据求得的结点位移，由
{}[B]{}e {}[D][B]{}e
可求得单元中任一点的应变和应力。
平面问题的有限单元法
结构的离散化
➢ 用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进 行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的 体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单 元。
有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和 物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变 和应力分量的公式。
由：
单元中的应变ຫໍສະໝຸດ Baidu应力(续)
得到：
或简写为：
单元中的应变和应力(续)
将应变代入物理方程：
可得： 即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。
单元中的应变和应力(续)
式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：
1.9.2 选择位移模式(形函数)
❖ 首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移 模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一
的关系式 {u}[N]{}e
❖ 有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系 表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达 式
{}[B]{}e
{}[D][B]{}e
1.9.3 三角形单元的形函数
❖ 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来 的（如：结构应力、热梯度）。
nodal solution UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
element solution σ、ε、E
1.7 单元形函数(续)
❖ 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是 通过单元形函数推导出来的。
❖ 基本假定：假定单元内 的位移可以用一个比较 简单的函数来表示，如 线性插值函数。这在单 元划分比较密的情况下 是合理可行的。
ua1a2xa3y va4a5xa6y
1.9.3 三角形单元的形函数(续)
❖ 将三角形单元的3个顶点的2个方向位移代 入位移函数可求出6个待定系数。即可用节 点的位移表示内部任意一点的位移：
一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等
于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，
即：
u
ui
ui1 ui li
(x
xi )
u [ N ]{ }e
[ N ] [ xi1 x xi1 xi
] x xi
xi1 xi
{ }e [u i u i1 ]
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
单元的应变能（续）
从而单元的应变能可写为： 利用{ε}=[B]{δ}e，有：
单元的应变能（续）
注意到[B]=[Bi Bj Bm]，记子矩阵
单元上体积力的势能
物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中， 体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力 为：
单元上体积力具有的势能为：
单元上表面力的势能
ui
vi
uuvN0i
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
N0muvjj
Be
um vm
1.9.4 建立平衡方程
❖ 可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位 移之间的关系式，即结构的平衡方程
[k][][p]
1.9.5 求解结点位移
❖ 将边界条件代入线性代数方程组 [k][][p] 后，
经解算可求得所有未知的结点位移。
单元中的总势能
❖ 分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：
单元中的总势能
❖ 则单元中的总势能可以表示为：
物体中的总势能
❖ 把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。 为了便于叠加和归并，需将单元刚度矩阵表达式(2-18)作适 当的改写。
❖ 假设结构离散化后共有n个结点，将编号为 l的结点位移记为：
❖ 有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应 变和应力用节点位移表示的公式：
i
du ui1ui
x dx
li
E i
i
E(ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
E(u A i ui 1) E(u A i 1 ui) q(li 1 li)
x e2Gx y e2Gy z e2Gz
11E2
xy yz
G Gxyyz
zx Gzx
拉梅系数
exyz 体积应变
G
E
21
剪切模量
1.3.4 边界条件
l x l xy
m yx m y
n zx n zy
X Y
l xz
m yz
n z
Z
应力边界条件
u uv vw w位移边界条件
1.4 有限元模型
1.7 单元形函数(续)
DOF值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
1
节点
单元
2
节点
单元
线性近似 (更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
3
节点
单元
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
.
4
节点
单元
1.7 单元形函数(续)
❖ DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实 解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。