微分与动力第5章演示文稿

引理1 如果 0是截线L的一个内点，则对 任何 0，存在 0，使得在t 0时 从圆域B( 0 , )内的任何点出发的轨线 都在t ( , )的时间范围内穿过 L。
引理2 设L为平面向量场f ( x)的截线， {1 ( ) / t R} 是过点的轨线，并设 与L有交点x1 , x2， ... , 此点列 沿轨线（即对t）是单调的，其中至少 有两点不 相同，则此点列中的各 点互不相同，且在 L上也 如果是闭轨，则与L仅有一个交点。
定义5.7 设F是一个不变集，如果对 F的每个 邻域 U {x / d ( x, F ) } ，都存在F的一个邻 域 U ，使得对任何p U ，有 t ( p) U (t 0) 则称F是稳定的。如果 F是稳定的，此外， 存在 0 ，使得对任何q U ，当 t 时 d (t (q), F ) 0 ，则称F是渐进稳定的。
定理5.3的推论 推论1 如果闭轨是非闭轨线的极限集，则所在 一侧的的某个邻域内的任何轨 线当t 时 都盘旋地趋于，即是单侧稳定极限环。对 于的极限集也有相应的结论 。 推论2 如果两条闭轨1和2围城环形区域D，在D内都 无平衡点和其他闭轨， 则内环的外侧是稳定的 ， 而外环的内侧是不稳定 的，或者有相反的结果 。

定义5.2
如果点p E对任何t R满足t(p)=p，则称p为流t的平衡点 （不动点)。对于流t 所对应的向量场f(x)（见式5.3），显然 有f(p)=0，因此也称为该向量场f(x)的零点（奇点）。
定义5.3 如果点 q E对某个T 0满足t (q) q，则 最小正周期（今后都称 为周期）。流 t 过周期 点q的轨线称为流t的闭轨（周期轨线）。
是单调的，即在 L上，xk 1必位于xk 和xk z 之间.此外，
引理3 设L是平面向量场 f ( x)的一条截线，则轨 线 {t ( ) / t R}的极限集 ( )与L最 多只有一个交点。对于 的极限集也有类 似的结论。
引理4 设系统（ 5.9）的轨线 {t ( ) | t R}上没有平衡点。
称q为流t 的周期点。这种 T值中的最小者称为
定义5.4 如果点集F具有以下性质： t ( x) F , x F , t R 则称F为流t 的不变集。
定义5.5 设对点 p E的任何邻域U和任意大的T 0, 存在t T使得U t (U ) ，其中
t (U ) {x / x t ( y ), y U百度文库}，则称P为流 t
第五章
微分动力系统基础
5.1 连续动力系统——流

定义5.1
设开集E R n，:R E E是一个C0映射(C r映射，r 1)，且满 和(2) 。或t t R 是一个C0映射(C r映射)，且满足性质（1） 称为E上的C0动力系统(C r 动力系统)或C0流(C r 流)。 足性质(1)和(2)。记t (t,x)，则对给定的t R,t：E E
（ 1 ）如果的极限集 ( )与轨线相交，则是一条闭轨。 对于的极限集 ( )也有类似的结论。
（2）如果正半轨线 有界，且 ( )包含一条闭轨，则 ( ) 。
定理5.2 （庞卡莱 — 班狄克逊定理） 设平面系统（ 5.9）的轨线 {t ( ) | t R}，其正半 轨线 有界且 ( )不包含平衡点，则轨线 只可能属 于下面两种情形之一： （ 1 ）本身是闭轨，此时 ( ) ； （2）本身不是闭轨，但是 ( ) \ 闭轨，其中 是 的闭包。 对于负半轨线 的极限集 ( )也有类似的结论。
5.2庞卡莱 — 班狄克逊定理及应用
定理5.1 （约当曲线定理） 在 R 2上的任何约当闭曲线（ 即不自相交的连续闭曲 线） J把 R 2 分成两部分Pi 和Pe 即R 2 \ J Pi Pe ，其中 Pi 和Pe 是不相交的开集。 Pi是有界集，称为 J的内域； Pe是无界集， 称为J的外域。 P （或 Pe）中的任何两点都可以 用完全在 P （或 Pe） i i 中的连续曲线连接。
定义5.8 设A是一个闭的不变集，且 是渐进稳定的，则称 A为吸引集。 集合B {x / lim d (t ( x), A) 0}称为A的吸引域。将t换成 t , 可 以类似的给出排斥集及 其排斥的域定义。 如果在吸引集（或排斥 集)中包含一条稠密的轨线 ，则称为 吸引子（或排斥子）， 点吸引子也称为汇，点 排斥子也称为源。
的一个非游荡点。t的全体非游荡点的集合 称为非游荡集，记作 ( )。若q E \ ( )， 则称q为流的一个游荡点。
定义5.6 在过点x的轨线 上，如果存在点列t1 ( x)t2 ( x), ...，使 得当 i 时， ti （或 ）且ti p ，则称点p 为过点x的轨线的一个 极限点（或 极限点）过点x的 轨线 的全体极限点（或 极限点）的集合称为 极限集 （或极限集），记为 ( x（或 ) ( x)）也可记为（或 ）。

定理5.3 设系统（ 5.9）至多有有限个平衡点 。记轨线 {t ( ) | t R}。 如果 是系统（ 5.9）的一条有界正半轨线 ，则轨线的极限 集（）必属于下面三种情形 之一： （ 1 ）（）是一个平衡点； （2）（）是一条闭轨； （3）（）是由有限个平衡点和 一些非闭轨线组成，这 些非闭 轨线当t 和t 时，各自分别趋于上述 平衡点之一。 对于负半轨线 — 和极限集（）也有类似的结论。