二维光子晶体波导的能带分析[1]

∑
G G
- 1
( G) e
iG r
,
( 3) ( 4) ( 5) 2. 1 介质折射率的影响 二维光子晶体波导是由两种以上不同折射率的 e( G) ( 6) 介质组成, 我们选取背景材料为空气 n = 1, 圆柱材 料的折射率大于 1, 晶格周期 a = 1 m , 介质柱的半 径 r = 0. 2 m, 取如图 2 所示的晶胞单元 , 在简约布 里渊区对称点 ! 、 K、 M、 ! 的每两个点之间插入四个 中间点, 设定能带数为12。 介质柱折射率分别取不同 的值 , 在其他参数不改变的情况下 , 得出不同折射率 对应的带隙的数目以及宽度如表 1 所示。
图 3 不同折射率对应的带隙分布图 F ig . 3 Differ ent r efra ctive index co rr espo nding to band ga p distr ibutio n
表 2 不同占空比与能隙分布关系 Tab. 2 Relationship between duty radio and bandgap distribution 占空比 2r / a 带隙数目 下限 a 2∀c 0. 12 0 0. 13 1 0. 20 1 0. 30 1 0. 36 1 0. 40 1 0. 50 1 0. 80 1 0. 88 0
[ 4, 5]
列的本征值。在坐标纸上, 以 k 为自变量 ,
为其函 c 数画出一条条曲线。这些曲线就可以展示出光子晶
2
体 T E 极化情况的能带结构 , 从中就可以看出带隙 的位置和宽度。
2 能带分析
本文设计的二维光子晶体波导的结构如图 1 所 示, 是在 25× 13 的二维圆柱正方晶格光子晶体的中 心引入线缺陷形成的 , 应用平面波展开法对其能
带隙宽度
第 3 期
孙 鉴 , 等 : 二维光子晶体波导的能带分析
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0. 312 00 0. 230 00 0. 173 71 0. 154 29 0. 144 00 0. 126 86 0. 105 14
上限 无
0. 317 14 0. 278 57 0. 259 43 0. 247 71 0. 234 86 0. 196 29 0. 116 00 0. 005 14 0. 048 57 0. 085 72 0. 093 42 0. 090 86 0. 069 43 0. 010 86 无
第 3 期
孙 鉴 , 等 : 二维光子晶体波导的能带分析
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体的能带分布。
然后将矩阵做变换, 化为对角矩阵 , 就可以得到一系
2
1 平面波展开法
平面波展开法是应用 Bloch 定理将电磁波以平 面波的形式展开 , 将麦克斯韦方程组化成一个本征 方程, 求解该方程的本征值便可以得到传播的光子 的本征频率。此方法可以用来计算无限周期的光子 晶体能带结构 , 结合超原胞的方法还可以计算光子 晶体缺陷模的位置 1 ( r) ×
图 1 二维光子晶体波导 Fig. 1 T w o dimension photo nic cr ystal w aveg uide
r
∑h ( G) e
G
i ( k + G) r
i ( k + G) ∑e ( G) e
将倒格子空间展开式代入( 3) ( 4) ( 5) 式中计算 得到:
2 - 1
[ 3]
S . John 在 1987 年分别独立提出的 , 光子晶体是一 种介电常数呈周期性的新型光学材料 , 目前光子晶
收稿日期 : 201003-12 基 金项目 : 黑龙江省 2009 年 研究生创新科研资 金项目 ( Y JSCX 2009085HL J) ; 大庆石油学院 优秀研究生学位论 文培植 资助项目 作者简介 : 孙 鉴 ( 1980— ) , 男 , 在读硕士 , 讲师 , 主要从事光电子学方面的研究 ; ( E mail : sj103063@ 163. co m ) 王明吉 ( 1963— ) , 男 , 教授 , 在读博士 , 主要从事光电检测与信号处理方面的研究 ; 李玉洋 ( 1982— ) , 女 , 工程硕士 , 助理工程师 , 主要从事光电子学和项目管理方面的研究。
2
e( G1 ) = e( G2 ) e( GN ) ( 8)
图 2 晶胞单元 Fig. 2 Cell unit
c
2
190
光 电 子 技 术 表 1 不同折射率与带隙分布关系 Tab. 1 Relationship between ref ractive and bandgap distribution 介质折射率 n 带隙数目 下限 a 2∀c 上限 带隙宽度 无 2. 5 0 3. 2 1 3. 5 1 4. 0 1 6. 0 1 6. 9 1 7. 0 1 9. 0 1
摘 要: 设计了在 25× 13 的二维圆柱正方晶格中心引入线缺陷构成的光子晶体波导, 利用平 面波展开法( PWE ) 方法计算并仿真了该波导的能带分布, 分析出其带隙分布与介质柱折射率和占 空比的关系, 总结出了能带与两者之间的变化规律, 得出了存在最大带隙结构的波导参数是介质柱 的折射率为 6. 9, 占空比 2r / a= 3. 6, 对于实际制作光子晶体波导提供了理论指导。 关键词: 光子晶体波导; 线缺陷; 平面波展开法 ; 能带 中图分类号: T N 25 文献标识码: A 文章编号 : 1005-488X ( 2010) 03-0188-04
从表 1 中我们可以发现 , 在折射率小于 3. 2 时, 没有带隙存在; 当折射率大于 3. 2 时 , 出现带隙 , 随 着折射率的增大 , 带隙分布的上、 下限均下移 , 即禁 带频率减小, 并且带隙宽度先增大后减小, 在折射为 6. 9 处出现拐点。 图 3 为两个极值点 3. 2 和 6. 9 时的 带隙分布图, 图中 f = a/ 2∀ c。 从图中可以很清楚的看到带隙分布的区别 , 还 可以看出是否出现带隙以及宽度的大小主要在于第 9 条能带, 在 n= 3. 2 以下时, 此能带很陡峭 , 从而导 致没有带隙出现 , 而随着折射率的增大此能带逐渐 变平缓 , 出现了带隙 , 并且宽度逐渐增大, 由于每条 能带对应的频率是减小的 , 所以宽度不可能一直增 大 , 肯定会出现一个极大值。 2. 2 介质柱占空比的影响 我们选取介质柱的折射率为 6. 9, 其他参数不改 变 , 只改变介质柱的半径 , 即可得出不同的占空比 ( 2r / a ) 对应的带隙的数目以及宽度 , 如表 2 所示。 从表中我们发现当占空比在 0. 13 到 0. 87 的区 间内存在带隙 , 在 3. 6 处出现极大值, 三个极值对应
光 电 子 技 术 第 30 卷第 3期 Vol. 30 No . 3 2010 年 9 月 OPT OELECT RONIC T ECHNOL OGY Sept . 2010
研究与试制
二维光子晶体波导的能带分析
孙 鉴 , 王明吉 , 李玉洋 , 范立涛
1 1 2 2 ( 1. 东北石油大学 电子科学学院 , 黑龙江 大庆 163318; 2. 大庆石油管理局 公共汽车公 司西区分公司 , 黑龙江 大庆 163712)
[ 6]
。
2
电磁波在二维光子晶体中的本征方程为: ×[ 1 ( r) × E( r ) ] = × H ( r) = c c
2 2 2
E( r) H ( r)
( 1) ( 2)
带分布进行数值模拟 , 在这里我们只研究 T E 模变 化的情况。
由于光子晶体的介电常数、 电矢量、 磁矢量均为 周期函数, 把 1 , E ( r ) , H ( r ) 结合 Bloch 定理展开 ( r) 成傅里叶级数 : 1 ( r) = H( r ) = E( r ) =
第 30 பைடு நூலகம்
30. 0 1
0. 301 43 0. 275 71 0. 244 69 0. 165 71 0. 144 00 0. 142 29 0. 111 00 0. 047 43
0. 311 43 0. 302 86 0. 287 14 0. 250 29 0. 234 86 0. 233 14 0. 194 40 0. 087 14 0. 010 00 0. 027 15 0. 042 45 0. 084 58 0. 090 86 0. 090 85 0. 083 40 0. 039 71
∑
G′
( G - G′ ) k + G k + G′e( G) =
c
2
∑
G′
- 1
2
( G - G′ ) k + G k + G′ h ( G) =
c
2
h( G ) ( 7)
( 6) 式和 ( 7) 式就是 T E 和 T M 的特征方程。 给定一个 k 值, 用 N ×N 列平面波来近似( 即 G 取 N 个不同的值) , 可以求得一组本征值 , i 连续从 1 取到 N , 我们就可以得到N 个同样形式的方程。 把这 些方程等号左边的部分和等号右边的部分分别相 加 , 就可以得到方程 ( 6) 的完全展开式 , 把这个完全 展开式化成矩阵形式, a11 a21 aN 1 a12 a22 aN 2 … … … a1N a2N aN N e( G1 ) e( G2 ) e( GN )
Band Analysis of Two-dimensional Photonic Crystal Waveguide
Sun Jian , Wang M ingji , L i Yuyang , Fan L it ao
1 1 2 2
( 1. Col lege of El ectr oni cs , N ortheast Pet rol eum Univer si ty , Daqing H eilongj iang 163318, CH N ; 2. Bus Comp any West ern Branches , Daqing Pet rol eum A dministr ation Bureau , Daqing H eil ongj iang 163712, CH N ) Abstract : T w o-dimensional phot onic cr yst al w aveguide st ruct ur e is designed by t he int ro duct ion of line def ect s in t he tw o dimensional cy lindr ical square-lat t ice phot onic cry st al. PWE method is used t o analy ze t he w aveguide m odes . T he r elat ionship bet w een t he band-g ap distr ibution w it h ref ract ive index and dut y rat io is discussed. Result s show t hat t he w idt h of band-gap is max im um w hen the cy lindr ical mat erial r ef ract ive index is 6. 9 and t he dut y r at io is 0. 36, t he chang es o f t hem is analyzed . Key words: pho to nic cr yst al wav eg uide; line defect s ; P WE ; band-gap 体被发现的主要特征是光子禁带、 光子局域和负折
引 言
光子晶体的概念最早是由 C. Yablonvit ch
[ 2] [ 1]
射效应。特殊的结构使其具有奇特的控制光子传播 状态的特性, 产生了许多崭新奇特的物理性质 , 可以 和 用来制作全新概念和以往所不能制作的高性能光学 器件 , 拓宽了光子技术的应用领域 。 本文利用 PWE 分析含有线缺陷的二维光子晶