第三章 连续型随机变量

P{ ( ) x} 1 F ( x) P{ () x} F ( x 0) P{ ( ) x} 1 F ( x 0) P{ ( ) x} F ( x) F ( x 0)
进一步，形如
(3.1.6) (3.1.7)
(3.1.8)
(3.1.9)
F ( x) F (b) F ( x) F (b) F{x | b a} ,b x a F (a) F (b) F (a) F (b) { x, b a} 因此 最后,若 x<b , 则 F{x | b a} 0, x b
则 { x, b a} {b a} ，因此 F (a) F (b) F{x | b a} 1, x a F (a) F (b) 若 b< x a ,则 { x, b a} {b x} 因此 若 x>a,
设离散型随机变量 ξ(ω) 的分布列为
P( ai ) pi , i 1, 2,
则 ξ(ω) 的分布函数为
或
a1 a2 p1 p2

F ( x) P( ( ) x) P( ( ) ai )
ai x
(3.1.10)
例3.1.1 设 ξ 是参数为 λ 的泊松分布的随机变量，即
记“点落入B中”这一事件为 B，则由等可能性及几 何概型知
lB d c P( B) ba ba
如果投在 [ a, b ] 中的点的坐标为 ω (a ω b)，
( ) , (a b)
这样就得到了一个随机变量 ξ (ω) ，它的取值充满了 整个区间 [a , b ].
n
从而描述 η 的分布函数为
1 e t , t 0 F (t ) P( t ) 0, t 0
(指数分布)
条件分布函数 类似地，我们也可以定义条件分布函数。在事件 ( η=bj ) 的条件下随机变量 ξ 的条件分布函数定义为 P( x, b j ) F ( x | b j ) P( x | b j ) (3.1.12) P( b j ) 由条件分布函数的定义知，条件分布函数与分布函数 F(x) 有完全相同的性质。如 F ( | bj ) 1, F ( | bj ) 0
仍以“母鸡下蛋”为例来讨论等待时间的问 题。 设母鸡在任意时刻 [ t0 , t0 +t ] 的时间间隔内下蛋个数 服从(3.1.11) 的泊松分布，问两次下蛋之间的“等待 时间” η 服从怎样的分布函数？ 解： 设前一次下蛋时刻为0，因为 η 不能为负，所 以当 t 0 时，显然有
P( t ) 0
P(a b | bj ) F (b | bj ) F (a | bj ) (3.1.13)
特别地，
(1) 如果条件是 { ξ < a } ，这时的条件分布函数是 若 x>a, 则 { x, a} { a} ，因此 P( a) F{x | a} 1, x a P( a)
n
n
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P(n ( ) n 1) P(i ( ) i 1)
m n

lim
n m i m n
lim F (n) lim F (m)
所以必有
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
n
F ( x1 ) lim F ( xn 1 )
n
由此即得
F ( x ) lim F ( xn 1 ) F ( x 0)
n
反之，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为 某个随机变量的分布函数。因此，满足这三个性质 的函数通常都称为分布函数。 利用分布函数，我们可以计算任何事件的概率。如：
若 x a ,则
{ x, a} { x}
因此
P( x) F ( x) F{x | a} ,x a P( a) F (a) (2) 若条件是 {b a} 则分布函数为 P( x, b a) F{x | b a} P(b a)
{x1 () x2},{x1 () x2},{x1 () x2},{x1 () x2}
这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差 以后的概率，都可以由 F(x) 计算出来，所以 F(x) 全 面地描述了随机变量 ξ(ω) 的统计规律。
离散型随机变量分布函数的计算
而当 t > 0 时，因为在等待时间内鸡不下蛋
( t ) (t 0)
所以有
P( t ) P(t 0) et
P( t ) 1 P( t ) 1 et

于是
1 又因为事件 ( t ) ( t ) n n 1 由概率的下连续性即得（参见P31） 1 P( t ) P{ ( t )} n n 1 1 lim P ( t ) n n (t 1 ) n lim[1 e ] 1 e t
分布函数的性质
（1）单调性。若 x1< x2 , 则 F(x1)F(x2) (3.1.2) (3.1.3) (3.1.4)
(2) F ( ) lim F ( x) 0 F ( ) lim F ( x ) 1
x x
证明：
x x
0 F ( x) 1
F ( x1 ) F ( x) P( x () x1 )
P{ [ xn 1 ( ) xn ]}
n 1
P( xn 1 ( ) xn )
n 1

[ F ( xn ) F ( xn 1 )]
n 1
lim[ F ( x1 ) F ( xn 1 )]
其图形如右图所示
0 a b x
例3.1.5 （等待时间问题）我们知道，单位时间内的
计数问题大多服从参数为λ的泊松分布且其均值即为λ。 如果现在考察的不是单位时间，而是时间段[ 0 , t ]， 那么这个平均值应该与时间 t 成正比，也就是 λt ，又 因为泊松分布具有可加性，所以在[ 0 , t ]这段时间内 的计数问题应该服从参数为 λt 的泊松分布 ( t ) k t P(t k ) e , k 0,1, 2, (3.1.11) k!
P( ( ) x) ?
即可。于是我们有
定义3.1.1 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的
函数 ξ(ω) ，称为样本空间Ω上的（实值）随机变量， 并称
F ( x) P( ( ) x), x (, )
(3.1.1)
是随机变量 ξ(ω) 的概率分布函数。简称为分布函 数或分布。 (Distribution Function)
P( k )
k
k!
e , k 0,1, 2, 3,
求 ξ 的分布函数。 解：由 (3.1.10) 式知道
F ( x) P( x) P( k )
k x k x
k
k!
e
F(x) 的图形如下图所示。
y=F(x)
1
0
1
2
3
4
x
由上图可以看到，F(x) 也是一个阶梯状的右连续函数， 在 x=k (=0, 1, 2, … ) 处有跳跃，跃度为 ξ 在 x=k 处的概 率 pk .
设 B=[c , d ][ a , b ] ，考察事件 ( cξ d )的概率
注意到 P( c) 0 所以 P(c d ) P{(c d ) ( c)} P(c d ) P( d ) P( c) 上式说明，为了掌握 ξ(ω) 的统计规律，只要对任意 实数 x 知道
k F (k ) F (k 0) P( k ) e , k 0,1, 2,3, k!
例3.1.2 设离散型随机变量X的分布列为
X P
-1 0.25
2 0.5
3 0.25
试求 P( X 0.5), P(1.5 X 2.5) 并写出X的分 布函数。
解：
P( X 0.5) P( X 1) 0.25 P(1.5 X 2.5) P( X 2) 0.5
0, x 1; 0.25, 1 x 2; F ( x) 0.75, 2 x 3; 1, x 3.
-1
1 0.75 0.5 0.25 0 1 2 3 4 x
例3.1.4 求例3.1.1中随机变量的分布函数F(x).
解 当 x < a 时，有
F ( x) P( x) 0
x
(3.1.5) F ( x 0) F ( x) (3) 右连续性. 证明：因为 F(x) 是单调有界函数，为证明左连续， 只要对某一列单调下降的数列
x1 x2
xn
, xn x(n )
证明
lim F ( xn ) F ( x ) 成立即可。这时有 n
m
，且 F(x) 单调，故 (m, n 均为自然数 )
lim F ( x ) lim F (m )
n
lim F ( x ) lim F (n )
都存在，又由概率的完全可加性有
1 P( ( ) ) P{

[n ( ) n 1]}
第三章 连续型随机变量

§ 3.1 随机变量及其分布函数
引例 ：等可能地在 [ a , b ] 上投点。在这里“等可
能”的含义是指，所投的点落在 [ a , b ] 中的任一子 区间 B=[ c , d ] 中的概率，与 B 的长度 lB 成正比， 而与B在 [ a , b ] 中的位置无关。 a c d b
当 a x b 时，则有
xa F ( x) P( x) P(a x) ba
当 x b 时，显然有 F ( x) P( x) 1 综上所得，ξ 的分布函数为
0, x a; xa F ( x) , a x b; b a 1, x b.