自动控制原理5奈魁斯特稳定判据

Friday, May 22, 2020
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这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环 频率特性GH( j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
做一条曲线s包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特 路径。如下图：
我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的。设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：N F (s) |右半零点数 F (s) |右半极点数
闭环系统右半极点数 开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
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①中由，分Gk母( j阶)可数求比得分F子( j阶)数，高而，Gk所( j以)是当开s 环 频 率e特j 性时。，G一k (般s) 在G0k
d f (0, j1)
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同样我们还可以发现以下事实：s平面上As BsCs Ds Es FsGs H s曲线 s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
s平面 As Bs
Hs
2 1
Gs Fs
Cs
F (s)平面
Ds
s顺时针
Es
示意图 f 逆时针
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0）， 不包围其零点（-2）；曲线f 包围原点，且逆时针运动。
N1 ( s)
N2 (s)
则开环传递函数为：Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
闭环传递函数为：(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
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将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：
F(s)
1
一、幅角定理：
设负反馈系统的开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s) ，其中： G(s)为前向通道传递函数，H (s)为反馈通道传递函数。
闭环传递函数为：(s) G(s) ，如下图所示：
1 G(s)H (s)
R(s) G(s)
H (s)
C(s)
令：G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
M1M 2 N1N2 N1 N 2
1 M1 M2 N1 N2
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子
分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭
曲线s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 f （为 s的映射）。
[例]辅助方程为：F(s) s 2
s
，则s平面上 ds点（-1，j1），映射
到F(s)平面上的点 d f为（0，-j1）,见下图：
ds (1, j1)
s平面
F (s)平面
Ⅰ
0
e j
s
Ⅲ Ⅱ
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴， 0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
s R e j , R ,从 ；Ⅲ部分是负虚
轴， 0 。 2
2
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F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s j 代入F(s)并令从
0 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取s R e j 使角度由
由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
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F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
再进一步试探，发现：若s 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和 一个零点（-2），则 f 不包围原点顺时针运动；若 s顺时针只 包围F(s)的一个零点（-2），则 f 包围原点且顺时针运动。
这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。
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[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s包 围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线 s移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 f 将以顺时针 方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。
2
2，R
得第二部分的映射；令
Байду номын сангаас
从
0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N Zk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk N Pk 。当 ZR 0 时，系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的 辅助方程为 F(s) 1 Gk (s)，Gk (s)为开环频率特性。因此，有以下 三点是明显的：
主要内容
幅角定理 奈魁斯特稳定判据 奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定 性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概 念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。
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若N为正，表示 顺f 时针运动，包围原点； 若N为0，表示 顺f 时针运动，不包围原点； 若N为负，表示 逆f 时针运动，包围原点。
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二、奈魁斯特稳定判据：
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s) 1 Gk (s) ，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。