2019年数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)-精选文档

对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t) 的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的. 在X(0)=0和方差函数VX(t)为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为: (P341)
C ( s , t ) V (min( s , t )) X X
二、 泊松过程 （Poisson process ） 现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.

其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
(4) 对于充分小的
j
t

P ( t , t t ) P { N ( t , t t ) j } o ( t )
j 2 j 2
2.泊松过程 : 计数过程{N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2) N(0)=0; (3) 对于充分小的 t ,
P ( t , t t ) P { N ( t , t t ) 1 } t o ( t ) 1
为一随机过程, 1.计数过程:设 X { N ( t ), t T [ 0 , )} T 如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时, N(s) ≤N(t),则称 X { N ( t ), t T [ 0 , )} T 为计数过程(counting process). 若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到 电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程. 对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程. 直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态 的增量是相互独立的”这一特征.
k
可以证明泊松过程的增量的分布律为
t t , k 0 , 1 , 2 , 0
由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布
是参数为 λ(t-t0) 的泊松分布,且只与时间t-t0有关,
所以强度为 λ 的泊松过程是一齐次的独立增量
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
过程{N(t) ,t≥0} 满足下面三个条件: (1) N(0)=0. (2) 它是独立增量过程; (3) 对任意的t>t0≥0,增量
N ( t ) N () t p (( t t ) ) 0~ 0
可以证明这两个定义等价.
由泊松分布知
V [ N ( t ) N ( t )]( E [ N ( t ) N ( t )] t t0) 0 0
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
E [ N ( t )] t,V ( t ) V [ N ( t )] t , N
E [ N ( t ) /t ],即泊松过程的强度 λ (常数)等于
在 ( t,t t] 亦即对于充分小的 t 出现 2 个或 2 个以上质点的概率与出 现一个质点 相比可以忽略不计 .
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机 时刻称为强度为 λ 的泊松流.
[ ( t t )] ( t t ) 0 0 P ( t , t ) P { N ( t , t ) k } e k 0 0 k !
( t ) N ( t ) N ( t , t ), 0 t t 将增量 N 0 0 0 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
随机过程的定义
T ， X (t , ) 是随机变量，我们 对每一个参数 t 称随机变量族 Xt X(t, ) 为一随机过程，其中称 为指标集
独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process)
给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程来自百度文库而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图