高等数学多重积分
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举几个例子。
（2）讨论上面例子
假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。 而是如下几种情况：
一条平直的细丝； 一块立体（区域）； 一条可以放在平面上的弯曲细丝； 一条在空间中弯曲的细丝； 一片空间中的曲面。 同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该 怎样做？
（3）多元数值函数积分的定义 （i）符号与辅助概念约定：
注：有这个概念定义，还派生如下一些辅属概念被积函数，积分（区）域，积分元素（微元），被
积表达式， 积分和，积分号。
2.多元数值函数积分的主要类型与常用符号表示
下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域
的情况分类，有如下四大类：
（1）积分域是xOy坐标平面中的区域D，则i
表示分划中小块区域 i 的面积 i ，积分表示为
注：除了符号以及涉及到的集合（积分区域与被积 函数）不同，其它在形式和关系上，与一元函数定 积分的基本性质完全一样。
7.2 二重积分的计算
1.几何意义 2.直角坐标下二重积分的计算 3.多重积分的换元3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8(3，4); 9(2，3); 10(2)。
（2）基本性质
注意教材中对积分区域“度量”的记法的特殊约定。 但是在这里我们为了不引起歧义，还是引入新的符号 约定。以 ()表示积分区域 的“度量”（根据情况 分别表示长度、面积、体积）。
（i） 1d() （ii）积分与函数的线性运算可交换-即积分是一个 线性映射（从哪里到哪里？）。
（iii）积分对于积分区域的可加性。
（iv）大小的比较 gf g (P ) d f(P ) d
| f( P ) d | |f ( P ) |d （v）积分的估值
m ( ) f ( P ) d M ( )
M与 m分别是函数在积分区域上的最大和最小值。
（vi）中值定理。存在P0
f( P ) d f( P 0 )( )
则称由这有限个闭集 i 为元素所组成的集合称为闭集 合 的一个分划（这里的分化都是有限分划）。
( （) 或 ）：表示闭集合的一个有限分划。在
已
知分所割分宽划度的：闭设集合是时，的就一简个记分为划，。记
( ) m a x { d ( i) | i } 称为分划 的宽度（或分割网的网径）。
（4）多元数值函数积分的定义： 设 Rn 是一个可度量的有界闭集，包含在函数 f 的定义域中，如果
I,0,0 ((() Pi i)
(| f(Pi)i I|)) i()
即 (l )i m 0 i ( f)(P i)i I，则称函数 f 在上可积，
并称 I是 f 在 上的积分，记作 f ( P ) d ( l i m ) 0 i ( )f ( P i) i I （2）
d( )， d( i) ：分别表示区域 和 i 的直径。其 d 中( A ) su x y p |x ,y { A }
若A是有界闭区域，d(A)是A内任意两点距离中最大者。
的有限分划：设有有限个闭集 i 满足如下条件
i ；
n
i 1
i
；
i j ( i j) 0，
( i 1 ,2 , ,n )，
L f(x ,y )d s l i0 s i m f(i,i) s i
如果是空间曲线，函数应是三元函数，积分记为
L f ( x ,y ， z ) d s l i m 0 s i f (i,i,i) s i
ds称为弧长微元。积分称为第一型曲线积分，也 称为对弧长的积分。
（4）当 是空间中的一块曲面S 时，f 是三元函数。 i 表示分划中某个小曲面块S i 的面积 Si，具体的 积分表达式为
我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多 现实问题密切相关的。
但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世 界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。
因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的 范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定 有十分广泛的用途。
即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函 数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题 可能会用到多元函数的积分方法呢？
多元数值函数的积分
1.概念、类型与性质 2.二重积分 3.三重积分 4.第一型曲线与曲面积分 5.在几何与物理方面的典型应用
7.1多元数值函数的积分 -概念、类型与性质
1.引例-概念抽象-多元函数积分定义 2.多元数值函数积分的基本类型 3.可积条件与积分基本性质
1.引例-概念抽象-多元函数积分定义
、 i ：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实 数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线， 也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间 曲线、曲面、三维闭区域。
：表示闭集合 的“度量”（或“体积”） -对于曲线（也包括直线），表示长度； -对于曲面（包括平面），表示面积； -对于立体区域，表示体积（设 是可度量的）。 注：在教材中， i 即表示小区域（或闭集合）也表示 该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。 尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。
f(x,
D
y)dl im 0 i f(i,
i)i
称为二元函数 f在区域D上的二重积分，d 称为面
积微元。
（2）是三维坐标空间中的区域V时，积分记为
Vf(x,y,z)dV
称为三元函数 f 在V上的三重积分，dV称为体积微元。 （3）当 是平面或空间中一条曲线 L时， i表示的
是曲线分化中小弧段 s i 的长度 si 。如果曲线是平面 曲线，则函数 f 是二元函数，具体的积分表示为：
S f ( x ,y ,z ) d S l i m 0 S i f (i,i,i) S i
dS称为面积微元，该积分称为第一型曲面积分，或 对面积的曲面积分。
3.多元数值函数积分的基本性质
（1）可积的必要条件-被积函数在积分区域内有界 （注意，积分区域本身必须是有界闭集）。
可积的一个充分条件-被积函数连续。
（2）讨论上面例子
假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。 而是如下几种情况：
一条平直的细丝； 一块立体（区域）； 一条可以放在平面上的弯曲细丝； 一条在空间中弯曲的细丝； 一片空间中的曲面。 同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该 怎样做？
（3）多元数值函数积分的定义 （i）符号与辅助概念约定：
注：有这个概念定义，还派生如下一些辅属概念被积函数，积分（区）域，积分元素（微元），被
积表达式， 积分和，积分号。
2.多元数值函数积分的主要类型与常用符号表示
下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域
的情况分类，有如下四大类：
（1）积分域是xOy坐标平面中的区域D，则i
表示分划中小块区域 i 的面积 i ，积分表示为
注：除了符号以及涉及到的集合（积分区域与被积 函数）不同，其它在形式和关系上，与一元函数定 积分的基本性质完全一样。
7.2 二重积分的计算
1.几何意义 2.直角坐标下二重积分的计算 3.多重积分的换元3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8(3，4); 9(2，3); 10(2)。
（2）基本性质
注意教材中对积分区域“度量”的记法的特殊约定。 但是在这里我们为了不引起歧义，还是引入新的符号 约定。以 ()表示积分区域 的“度量”（根据情况 分别表示长度、面积、体积）。
（i） 1d() （ii）积分与函数的线性运算可交换-即积分是一个 线性映射（从哪里到哪里？）。
（iii）积分对于积分区域的可加性。
（iv）大小的比较 gf g (P ) d f(P ) d
| f( P ) d | |f ( P ) |d （v）积分的估值
m ( ) f ( P ) d M ( )
M与 m分别是函数在积分区域上的最大和最小值。
（vi）中值定理。存在P0
f( P ) d f( P 0 )( )
则称由这有限个闭集 i 为元素所组成的集合称为闭集 合 的一个分划（这里的分化都是有限分划）。
( （) 或 ）：表示闭集合的一个有限分划。在
已
知分所割分宽划度的：闭设集合是时，的就一简个记分为划，。记
( ) m a x { d ( i) | i } 称为分划 的宽度（或分割网的网径）。
（4）多元数值函数积分的定义： 设 Rn 是一个可度量的有界闭集，包含在函数 f 的定义域中，如果
I,0,0 ((() Pi i)
(| f(Pi)i I|)) i()
即 (l )i m 0 i ( f)(P i)i I，则称函数 f 在上可积，
并称 I是 f 在 上的积分，记作 f ( P ) d ( l i m ) 0 i ( )f ( P i) i I （2）
d( )， d( i) ：分别表示区域 和 i 的直径。其 d 中( A ) su x y p |x ,y { A }
若A是有界闭区域，d(A)是A内任意两点距离中最大者。
的有限分划：设有有限个闭集 i 满足如下条件
i ；
n
i 1
i
；
i j ( i j) 0，
( i 1 ,2 , ,n )，
L f(x ,y )d s l i0 s i m f(i,i) s i
如果是空间曲线，函数应是三元函数，积分记为
L f ( x ,y ， z ) d s l i m 0 s i f (i,i,i) s i
ds称为弧长微元。积分称为第一型曲线积分，也 称为对弧长的积分。
（4）当 是空间中的一块曲面S 时，f 是三元函数。 i 表示分划中某个小曲面块S i 的面积 Si，具体的 积分表达式为
我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多 现实问题密切相关的。
但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世 界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。
因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的 范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定 有十分广泛的用途。
即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函 数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题 可能会用到多元函数的积分方法呢？
多元数值函数的积分
1.概念、类型与性质 2.二重积分 3.三重积分 4.第一型曲线与曲面积分 5.在几何与物理方面的典型应用
7.1多元数值函数的积分 -概念、类型与性质
1.引例-概念抽象-多元函数积分定义 2.多元数值函数积分的基本类型 3.可积条件与积分基本性质
1.引例-概念抽象-多元函数积分定义
、 i ：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实 数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线， 也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间 曲线、曲面、三维闭区域。
：表示闭集合 的“度量”（或“体积”） -对于曲线（也包括直线），表示长度； -对于曲面（包括平面），表示面积； -对于立体区域，表示体积（设 是可度量的）。 注：在教材中， i 即表示小区域（或闭集合）也表示 该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。 尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。
f(x,
D
y)dl im 0 i f(i,
i)i
称为二元函数 f在区域D上的二重积分，d 称为面
积微元。
（2）是三维坐标空间中的区域V时，积分记为
Vf(x,y,z)dV
称为三元函数 f 在V上的三重积分，dV称为体积微元。 （3）当 是平面或空间中一条曲线 L时， i表示的
是曲线分化中小弧段 s i 的长度 si 。如果曲线是平面 曲线，则函数 f 是二元函数，具体的积分表示为：
S f ( x ,y ,z ) d S l i m 0 S i f (i,i,i) S i
dS称为面积微元，该积分称为第一型曲面积分，或 对面积的曲面积分。
3.多元数值函数积分的基本性质
（1）可积的必要条件-被积函数在积分区域内有界 （注意，积分区域本身必须是有界闭集）。
可积的一个充分条件-被积函数连续。