《杨辉三角与二项式定理》精品PPT课件

6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
由于：
C
k n
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于CLeabharlann k n1的增减情况由n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
,
C1n
,
Cn2
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn Cnnm 得到．
图象的对称轴：r n 2
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
杨辉三角
杨辉 《九章算术》
杨辉三角
《详解九章算法》中记载的表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
C
0 n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n
C
2 n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
已知
x 4
1 x3
n
的展开式中只有第10项系数最大,
求第五项
解 依题意, n为偶数 且 n 1 10, n 18 2
T5 T41 C148
x
184
4
1 x3
4
3060x 4 .
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
练习
.已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 则a1 a2 a7 -2
a1 a3 a5 a7 -1094 a0 a2 a4 a6 1093
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象；
c 最值。
结束语
当你尽了自己的最大努力 时，失败也是伟大的，所 以不要放弃，坚持就是正 确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且
中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
C
2 n
n1
Cn2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
③各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
复习 二项式定理
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
展形式的第k+1项为 Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
特值法
练习 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C ) (A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项