解读_分类讨论_的三个层次

２． 直线斜率的存在与不存在 例５ 求过点Ｐ（ － １， ２） 且 与 点Ａ（ ２， ３） 和Ｂ（ － ４， ５） 距离相等的直线方程．
高中 ２００７ 年第 ５ 期
１５
泛舟学海
解析 相当一部分同学通常会按常规解法： 已知 一点求直线方程， 通过设点斜式得直线方程为 ｘ＋３ｙ－
"３（１－ ｃｎ） （ｃ≠１），
ｙ＝３，
在本文中笔者就该方法从三个层次来阐述． 一、 明确分类讨论是解决某些数学问题的必用
% % ｘ＝３， ｘ＝４，
或
这样把总分不小于７的取法分为三类： 第
ｙ＝２， ｙ＝１，
方法 在众多的数学问题中， 有许多是十分复杂的，
这就需用分类讨论的策略， 即对各种情况先逐类解 答 ， 然 后 再 综 合 起 来 ， 也 就 是 “先 化 整 为 零 ， 再 积 零为整”．尤其是绝对值问题、含参数问题、排列组 合概率问题等无不包含着分类讨论的思想．
点评 ① 将不等式变形后成为一个一元二次不
等式的解的问题， 因此确定分类讨论的标准就是方
更应注意． 例４ 设Ａ＝｛ｘ｜ｘ２＋４ｘ＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２＋２（ ａ＋１）ｘ＋ａ２－ １＝０｝，
若Ａ∩Ｂ＝Ｂ， 求ａ的值． 解析 因为 Ａ＝｛４， ０｝， Ａ∩Ｂ＝Ｂ， 所以同学们都会
考 虑 Ｂ＝｛４｝， Ｂ＝｛０｝， Ｂ＝｛４，０｝ 三 种 情 况 ， 从 而 得 到 ａ＝１ 或 ａ＝－ １， 但却遗漏了 Ｂ＝" （ 空集） 也是满足题意的， 从而导致漏解 ａ＜ － １ ．
到 ｘ 轴的距离为 ＿＿＿＿＿＿＿．
等公式比较多的内容中， 例如三角问题解答时， 要
在 解 本 题 时 有 不 少 同 学 误 认 为∠Ｆ１ＰＦ２ 可 能 为 直
尽量避免由角的条件去讨论三角函数的符号， 而选 择恰当的公式， 回避分类讨论．比如， 已知正切值
角， 因此求得答案为 ９ 或 ９#７ ， 其实如果记住了
由Biblioteka Baidu
ｘ－ ａ ｘ－ ａ２
＜ ０#（ｘ－ ａ）（ｘ－ ａ２）＜ ０．（ １） 当 ａ＞ａ２， 即 ０＜ ａ＜ １
时 ， 不 等 式 的 解 为 ｛ｘ｜ａ２＜ ｘ＜ ａ｝； （ ２） 当 ａ＝ａ２， 即 ａ＝１ 或
ａ＝０ 时， 原不等式等价于 １＜ ０， 故无解； （ ３） 当 ａ＜ ａ２， 即
ａ＞１ 或 ａ＜ ０ 时， 不等式的解为｛ｘ｜ａ＜ ｘ＜ ａ２｝ ．
策略 ３— ——间接求法， 即用补集思想．有些问题分 类讨论情形复杂， 但若用补集思想考虑则较简单， 一
般用在题中有至少、至多等关键字的问题中， 尤其是
１６
高中 ２００７ 年第 ５ 期
泛舟学海
排列组合概率问题．
点 Ｐ、Ｆ１、Ｆ２ 是 一 个 直 角 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 则 点 Ｐ
策 略 ４— ——巧 用 公 式 法 ．这 一 方 法 主 要 用 在 三 角
例 ８ 已知数列 ｛ａｎ｝ 是由正数 构 成 的 数 列 ， ａ１＝
３， 且满足 ｌｇａｎ＝ｌｇａｎ－１＋ｌｇｃ， 其中 ｎ 是大于 １ 的整数， ｃ
是正数．求数列 ｛ａｎ｝ 的通项公式及前 ｎ 项和 Ｓｎ．
解析 一些同学的解答过程： 由已知得 ａｎ＝ｃａｎ－１，
所 以 数 列 ｛ａｎ｝ 是 首 项 为 ３ 公 式 为 ｃ 的 等 比 数 列 ， 因
时， 原 式＝ｌｉｍ ｃ
＝－ １ ； 当 ０＜ｃ＜２ 时， 原 式＝
ｎ→∞ ２·（ ２ ）ｎ－ １＋３ｃ ｃ
ｃ
相等时， 不能再用截距式方程解题， 注意到直线过原 点 ， 所 以 可 设 直 线 方 程 为 ｙ＝ｋｘ， 再 将 Ｐ（１，２）代 入 得 ｋ＝ ２， 故 直 线 方 程 为 ｙ＝２ｘ．因 此 ， 本 题 的 正 确 答 案 应 为 ｘ＋ ｙ＝３ 或 ｙ＝２ｘ ．
ｘｙ
Ｂ＝! 的 情 形 ； 二 是 解 Ｃｎ ＝Ｃｎ 时 ， 只 考 虑 ｘ＝ｙ 而 漏 解 ｘ＋ｙ＝ｎ．
除了以上几中常见情形外， 类似问题还有不少， 限于篇幅这里不再展开， 希望同学们在解题实践中注 意总结领会．
（ 舍 去 ） ， 故 切 点 为 （－ １ ，－ １ ）， 于 是 得 切 线 为 ３ｘ－ ２８
数
直线方程， 才能完整地解答问题．
学
３． 截距相等的直线可能过原点
是正数，
求 ｌｉｍ ｎ→∞
２ｎ－ １－ ａｎ ２ｎ＋ａｎ＋１
的值．
解析 本题分类标准的确比较难， 有三种情况：
有
例 ６ 求过点 Ｐ （ １， ２） 且在两坐标轴截距相等
数
的直线．
当 ｃ＝２ 时 ，
ｌｉｍ
ｎ→∞
２ｎ－ １－ ａｎ ２ｎ＋ａｎ＋１
只 讲 了 “过 ”， 而 并 没 有 明 确 说 点 （１，１） 为 切 点 ， 所
以 还 应 该 有 另 一 种 情 形 ： 设 切 点 为 （ａ，ｂ）， 则 切 线 斜
率 ３ａ２， 所 以 ３ａ２＝ １－ ｂ ＝ １－ ａ３ ， 解 得 ａ ＝－ １ 或 ａ ＝１
１－ ａ １－ ａ
２
已 知 ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ， 许 多 同 学 会 判 断 成 Ａ＝Ｂ 而 漏 掉 Ａ＋
泛舟学海
程根的大小关系． ②解含参数的问题时， 必须根据参
解读“分类讨论” 数的不同取值进行讨论， 因此 “弄清分类标准”至 关重要， 并且标准必须不重不漏． ③分类讨论后的归
的三个层次
纳还要注意能否将所有不同情形的结论合并， 本题 是不能合并的．
以上两例子告诉我们当所解问题含有参数时，
必须对参数的不同取值进行分类讨论， 如含字母系
４． 求 过 某 一 定 点 的 切 线 时 该 点 可 能 是 切 点 也 可
１－ ３·（ ｃ ）ｎ－１
ｌｉｍ
２ ＝ １ ．在解题过程中，
ｎ→∞ ２＋３ｃ·（ ｃ ）ｎ ２
２
有很大一部分同
学因未对 ｃ 分类讨论而导致解题错误， 即使有分类讨
能不是切点
论的意识， 但一些同学不知如何分类．
例 ７ 曲线 ｙ＝ｘ３ 上过点 （１，１） 的切线与两 坐 标 轴
７． 三角与组合数的漏解
围成的三角形的面积为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
这一类主要是指这样两类问题： 一是在△ＡＢＣ中 ，
解析 在 解 题 时 ， 有 些 同 学 将 （１，１） 看 成 切 点 ，
从 而 马 上 求 得 切 线 方 程 为 ｙ＝３ｘ－ ２， 因 此 得 三 角 形 面
积 为 ２ ．但 实 际 上 点 （１，１） 可 能 不 是 切 点 ！ 因 为 题 中 ３
■浙江 俞新龙
数的方程、不等式、函数、曲线方程等问题． 数
例 ３ 一个口袋内有 ４ 个红球， ６ 个白球．若取
数学问题是数学的心脏．数学的学习离不开数学
一个红球记 ２ 分， 取一个白球记 １ 分， 从口袋中取 ５
学
解题， 而数学解题能力离不开数学解题方法的掌握．
个球， 使总分不小于 ７ 的取法有多少种？
ｃ＝１ 的情形， 即前 ｎ 项和 Ｓｎ＝ １－ ｃ
５＝０．殊 不 知 ， 在 设 点 斜 式 时 已 漏 了 斜 率 不 存 在 的 直
３ｎ （ｃ＝１）．
线， 而实际上直线 ｘ＝－ １ 也是满足要求的．在直线方程
特别指出， 当我们根据 ａｎ 与 Ｓｎ 的关系求通项时，
的三类五种形式中， 点斜式及斜截式的使用条件是直
＝
ｔａｎ２ｘ－ １ ｔａｎ２ｘ＋１
，
从而比较简单的求得．
不同的条件下有不同结论， 则必须进行分类讨论求解；
数
策 略 ５— ——记 住 一 些 必 要 的 结 论．例 如 ， 在 讨 论 椭
２３
１类， 红球取２个， 白球取３个的方法有Ｃ４Ｃ６种； 第２类， 红
３２
球取３个， 白球取２个的方法有Ｃ４Ｃ６ 种； 第３类 ， 红 球 取４
４１
２３ ３２ ４１
个， 白球取１个的方法有Ｃ４Ｃ６种．因此 ， Ｃ４Ｃ６＋Ｃ４Ｃ６＋Ｃ４Ｃ６＝
１８６种．
点评 分类讨论是解排列组合概率问题的一种
例 １ 设 ０＜ｘ＜１， ａ＞０ 且 ａ≠１， 比较 ｌｏｇａ（１－ ｘ） 与 ｌｏｇａ（１＋ｘ） 的大小．
要注意对首项进行验证．
线斜率必须存在； 两点式使用条件是直线既不与 ｘ 轴
６． 求极限需要讨论
垂直， 也不与 ｙ 轴垂直； 截距式使用条件是两截距都
例 ９ 已 知 数 列 ｛ａｎ｝ 是 由 正 数 构 成 的 数 列 ， ａ１＝
存在且均不为零．因此， 必须用分类讨论的思想来设
３， 且满足 ｌｇａｎ＝ｌｇａｎ－１＋ｌｇｃ， 其中 ｎ 是大于 １ 的整 数 ， ｃ
１． 集合是否为空集 空集具有很好的特性， 它通常都能满足集合问
的影响举足轻重．
题 ， 尤 其 在 进 行 集 合 的 “子 、 交 、 并 、 补 ” 运 算 时
例２
解关于
ｘ 的不等式
ｘ－ ａ ｘ－ ａ２
＜０
（ａ ! Ｒ）
．
解析 本题是一道含参数 ａ 的不等式问题， 解题
时需讨论 ａ 与 ａ２ 的大小来解答．
点 评 本 题 解 答 中 对 数 函 数 ｙ＝ｌｏｇａｘ 的 单 调 性 （ 当 ａ＞ １ 时为增函数， 当 ０＜ ａ＜ １ 时为减函数） 对解题
数学中的分类讨论贯穿了教材中的各个部分．在 平时的解题中， 有些同学的解答因分类不全而导致 解 题 不 完 备 的 例 子 ， 有 些 甚 至 是 “屡 做 屡 错 ”！ 在 本 文中， 笔者特意为同学们总结了一些容易导致分类 不全或没有分类的几个题型或知识点， 请同学们一 定要多注意这些 “陷阱”．
此
ａｎ＝３·ｃｎ－ １，
则
Ｓｎ＝
３（１－ ｃｎ） １－ ｃ
．在求前
ｎ
项和忽略了公式
策略 １— ——除参数法．如例 １， 可用换 底 公 式 （ 或 作商法） 消除参数 ａ （ 因为两边有相同常数 ｌｇａ ） ．
策略 ２— ——数形结合法．如例 ５， 可在 直 角 坐 标 平 面上数形结合考虑防止漏解．
４
４
ｔａｎｘ＝２ 求 ｓｉｎｘｃｏｓｘ、ｓｉｎ２ｘ－ ｃｏｓ２ｘ 等 正 弦 、 余 弦 的 齐 次
上 述 结 论 就 不 会 进 行 没 必 要 的 分 类 讨 论 而 做 错 了．
从以上我们可以看出， 分类讨论具有明显的逻辑性
式的值时， 我们可以不分第一、第三象限分别求出
特点， 能训练同学们思维的条理性和概括性．通过上面
数
正弦、余弦的值求解而将问题转化成正切的关系式，
的学习， 希望同学们明确分类讨论的依据和方法：
学
即
ｓｉｎｘｃｏｓｘ ＝
ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ
＝
ｔａｎｘ ｔａｎ２ｘ＋１
，
ｓｉｎ２ｘ － ｃｏｓ２ｘ ＝
第 一 ， 解 题 涉 及 的 概 念 、定 理 、 公 式 ， 如 果 是 在
有
ｓｉｎ２ｘ－ ｃｏｓ２ｘ ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ
４ｙ＋１＝０， 则可得三角形面积为 １ ．因此， 本题答案为 ２４
三、 避免或简化分类讨论的方法 由上面的例子不难看出， 用分类讨论方法解题时 一定要加倍小心．一般地， 我们认为分类讨论是不得已
２或 １ ． ３ ２４
５． 等比数列的公比可能为 １
而为之的数学方法， 因此能避免为妙．那么如何避免 呢？ 这里给同学们提供如下一些常用策略．
＝
ｌｉｍ
ｎ→∞
２ｎ－ １－ ３·２ｎ－ ２ｎ＋３·２ｎ
１
＝－
１ ４
；
当 ｃ＞２
解 析 一 些 同 学 想 当 然 地 会 设 直 线 方 程 为 ｘ＋ｙ＝ ａ， 将 Ｐ（１，２）代 入 得 ａ＝３， 故 得 到 所 求 直 线 为 ｘ＋ｙ＝３ ．但 截距式使用条件之一是截距均不为零， 即当截距为零
（ ２ ）ｎ－１－ ３
有
众所周知， 在数学解题方法中， 分类讨论是中学数 学里一种最基本、最常用的解题方法和数学思想．为 帮助同学们能比较好地理解和掌握这一重要方法，
解 析 设 取 红 球ｘ个 ， 取 白 球ｙ个 ， 依 题 意 可 知
数
% % ２ｘ＋ｙ$７，
ｘ＝２，
且 ０ &ｘ&４， ０ &ｙ&６， 因 此 解 得
或
ｘ＋ｙ＝５，
解析 解题时先想到的是去绝对值符号， 这要根
基本思想， 尤其是在题中出现至多或至少等字眼的 问题．
二、 注意牢记中学数学里因为分类不全而导致
据绝对值内式子的符号判断， 而绝对值内是对数式，
解题不完备的常见例子
又 ０＜１－ ｘ＜１， １＋ｘ＞１， 因此对同底的两个对数来说， 其单 调性的作用就凸显出来了， 故讨论 ａ 与 １ 的大小．当 ａ＞ １ 时 ， 因 为 ｌｏｇａ（１－ ｘ） － ｌｏｇａ（１＋ｘ） ＝－ ｌｏｇａ（１－ ｘ２） ＞０， 所 以 ｌｏｇａ（１－ ｘ） ＞ ｌｏｇａ（１＋ｘ） ； 当 ０＜ａ＜１ 时 ， 因 为 ｌｏｇａ（１－ ｘ） － ｌｏｇａ（１＋ｘ） ＝－ ｌｏｇａ（１－ ｘ２） ＞０， 所以 ｌｏｇａ（１－ ｘ） ＞ ｌｏｇａ（１＋ｘ） ． 综上可知， ｌｏｇａ（１－ ｘ） ＞ ｌｏｇａ（１＋ｘ） ．