多面体与球的切接问题(解析版)

多面体与球的切接问题

一．方法综述

多面体与球接、切问题的求解方法:

(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.

(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直,且,,,PA a PB b PC c ===一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据2

2

2

2

4R a b c =++求解.

下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.

二．解题策略

类型一 球与柱体的切接问题

【例1】【2020·河南濮阳期末】已知长方体1111ABCD A B C D −的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106π

C ．56π

D ．53π

【答案】A

【解析】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以

()()2

22211112AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++−⋅+⋅+⋅=116，故外接球半径

r =

=2

4116S r ππ==，故选A.

【例2】【2020·全国高三专题练习】已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的每个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.

【答案】

【解析】设球O 的半径为R ，则2412R ππ=，解得R =，设正四棱柱的底面边长a ，高为h ，则正四

棱柱的体对角线为球O 2R ==22212a h +=，由基本不等式可得

22212a h +=≥ah ≤22

2a h =，即h ==. 故该正

四棱柱的侧面积为4ah ，其最大值为324122⨯=. 【例3】【河南省2018年高考一模】已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱

底面ABC ，若

有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．

【答案】

【解析】

由题意，的外接圆即为球的大圆 设底面

外接圆圆心

，从而正三角形

边长为

设圆心，由题意在球面上，

为中点，则

在

中，，

，则

则 故答案为

【指点迷津】

1.如图1所示，正方体1111D C B A ABCD −,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心. 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2

a

r OJ =

=； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 2

2

=

=； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则2

3'

1a R O A =

=.

通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 .

2.长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是

一样的，故球的半径222

.22l a b c R ++==

3.球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法.设正三棱柱111C B A ABC −的高为h ，底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 3

3

,,2===

，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求2

2

332⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R .

【举一反三】

1.【2020湖北省荆州市荆州中学模拟】在直三棱柱中，，，，，

则其外接球与内切球的表面积之比为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线长为，外接球的半径为

，内切球的半

径为，则其外接球与内切球的表面积之比为

，故选

2.【2020·陕西省铜川期末】已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的每个顶点都在球的O 球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．122 B ．182

C ．16

D ．18

【答案】A

【解析】设球O 的半径为R ，则2412R ππ=，得3R =，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，则正四棱柱的体对角线即为球O 222223x h R +==22212x h +=，由基本不等式可得

2212222x h xh =+≥，32xh ∴≤2h x =时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4432122xh ≤⨯=，故选A. 类型二 球与锥体的切接问题

【例4】【2020·四川绵阳期末】已知三棱锥P-ABC 中，PA=4，3BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．16π B ．32π

C ．64π

D ．128π

【答案】C

【解析】∵底面ABC 中，2AB AC ==，6BC =，

∴1

cos 2BAC ∠=−，∴3sin 2

BAC ∠=，∴ABC 的外接圆半径1 3

23

r ==PA ⊥面ABC ，∴三棱锥外接球的半径(2

22

2

2232162PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪

⎝⎭，所以三棱锥P ABC −外接球的表面积2

464S R ππ==，故选C ． 【例5】【2020·江西九江一中月考】已知三棱锥A BCD −中，5AB CD ==，2==AC BD ，