第三章___人寿保险的精算现值
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l 100张保单的未来赔付支出总现值
l 平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
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第三章___人寿保险的精算现值
基本符号
l
—— 岁投保的人整值剩余寿命
l bk+1——保险金在死亡年末给付函数 l vk+1 ——贴现函数 l zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
l 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
l 精算现值（包含两层含义）：
l 保险赔付在投保时的期望现值
l 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值
l 精算现值=趸缴净保费
l 由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第三章___人寿保险的精算现值
n年定期保险的趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险(一年递增一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险（连续递增）
l 给付现值随机变量
l 在UDD假设下，有
l当
时，相当于连续寿险的趸缴纯保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.7
l 某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险， 设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表 （1990-1993年，男女混合表），求这一保单 的趸缴净保费。
l 其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死 亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元， 满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净 保费。
300 000 0.02
1
350 000 0.04
2
400 000 0.06
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.5答案
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第三章___人寿保险的精算现值
死亡年末给付趸缴净保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
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第三章___人寿保险的精算现值
给付函数: 给付现值随机变量 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.4
l 某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
基本换算函数
l 在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制 成换算函数表。
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第三章___人寿保险的精算现值
用换算函数表示常见险种的趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.6
l 某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年末 赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司 赔付50 000元；在65岁到75岁之间死亡，受益 人可领取100 000元的保险金；在75岁后死亡， 保险金为30 000元。利用换算函数写出这一保 单精算现值的表达式。
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.6答案（1）
l 这份保单可以分解为下列保单的组合
l 50 000元的25年定期寿险 l 100 000元延期25年的10年定期寿险 l 30 000元延期35年的终身寿险的组合
l 这份保单的精算现值的表达式为：
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第三章___人寿保险的精算现值
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。
给付函数
给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
l 几个关系式
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第三章___人寿保险的精算现值
（七）递增型寿险
终身寿险
n年定期
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第三章___人寿保险的精算现值
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递减定期寿险（一年递减一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递减定期寿险（连续递减）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
其他各险种的趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
答案
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第三章___人寿保险的精算现值
•第二节 连续型寿 险的精算现值
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第三章___人寿保险的精算现值
相关符号
x ：投保年龄 t ：保单签发到被保险人死亡的时间长度 T ：连续型未来寿命，连续型随机变量
：t 时刻给付的保险金，一般是事先确定好的 ：折现函数，
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.4答案
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第三章___人寿保险的精算现值
（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任 范围内的死亡给付保险金。
给付函数
给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
（六）延期m年的n年定期寿险
l 熟练使用换算函数计算离散型各险种 的寿险精算现值
l 掌握离散型、连续型寿险精算现值之 间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
保费的分类-按保费缴纳的方式
l 趸缴保费（一次性缴纳保费） l 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保
费，年龄越大，缴纳的越多) l 均衡保费（定期缴纳保费）
第三章___人寿保险的精算现值
（二）终身寿险
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.3
l 张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知：
l 设预定利率为0.08 l 求这份保单的趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
第三章___人寿保险的精 算现值
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2020/12/6
第三章___人寿保险的精算现值
本章结构
•离散型寿险的精算现值
•人寿保险的 •精算现值
•连续型寿险的精算现值 •两类寿险精算现值之间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
本章学习目标
l 理解寿险精算现值的含义
l 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计 算公式
例3.3答案
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第三章___人寿保险的精算现值
（三） n年期生存保险
l 被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金.
l 只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定.
l 保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 .
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。
每年的赔付支出及其折现值如表所示：
年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值
（1） （2）
(3)=1000×(2) (4)
(5)= (3) ×(4)
11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
55
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5000
1.03-5
4313.04
第三章___人寿保险的精算现值
例3.1答案
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.2
l 某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.2答案
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第三章___人寿保险的精算现值
人寿保险给付方式的分类
l 分为：连续型寿险和离散型寿险
l 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值
l 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值
l 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
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第三章___人寿保险的精算现值
人寿保险给付上的两大特点
l 不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定
l 给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
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第三章___人寿保险的精算现值
净保费的计算原理
l 收支平衡原理（精算等价原理）：
净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
：保险金在保单签发时的现值，是 一随机变量。
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第三章___人寿保险的精算现值
连续型保险趸缴净保费的计算原理
l 计算公式
保险金给付在保单签发时的精算现值，即先将t 时刻的保险金转化为现值，然后求其期望值。
l 上式中的积分号的上下限有多种形式，这就对 应实际中人寿保险的多种形式。
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l E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
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第三章___人寿保险的精算现值
计算原理
K的不同上下限，对应着不同的险种
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第三章___人寿保险的精算现值
（一）n年定期寿险
给付函数
保险金给付在签单时的现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
l 与离散型寿险的趸缴净保费计算原理完全一样, 符号也很类似，也有类似的关系.
l 注意掌握各险种及连续型、离散型寿险趸缴净 保费之间的异同点。
P算现值
•第三节 UDD假设下 •连续型寿险和离散型寿险 •趸缴净保费之间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
趸缴净保费的变形公式
•思考：该公式的含义？
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第三章___人寿保险的精算现值
l 自然保费 即 中n=1的趸缴净保费.
l 是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
例3.6答案（2）
l 或者，将这份保单分解成下列保单的组合
l 30 000元的终身寿险 l 20 000元的35年定期寿险 l 50 000元延期25年的10年定期寿险的组合
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第三章___人寿保险的精算现值
练习
l 现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。 该保单规定：被保险人在10年内死亡，则 给付数额为15000元；10年以后死亡，则给 付数额为20000元。设死亡给付发生在保单 年度末。试求其趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
•第一节 离散型寿 险的趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
本节的主要目标
l 理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 l 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净
保费
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第三章___人寿保险的精算现值
主要险种
l n年期定期寿险 l 终身寿险 l n年期生存保险 l n年期两全保险 l 延期m年的终身寿险 l 延期m年的n年定期寿险 l 递增终身寿险 l 递减n年定期寿险 l 一般变额寿险
（八）递减型寿险
l 给付函数
l 给付现值随机变量 l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
一般变额寿险
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示：
k
bk+1
qk+1
0
l 以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿 命加死亡之年分数生存寿命：
l 则有
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第三章___人寿保险的精算现值
•假设(UDD)下两类趸缴保费之间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
关于 的计算
l 含义：相当于把死亡发生年划分成m个相等的 部分，保额在死亡发生的那个第m部分的期末 给付1单位的终身寿险的趸缴纯保费
l 平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
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基本符号
l
—— 岁投保的人整值剩余寿命
l bk+1——保险金在死亡年末给付函数 l vk+1 ——贴现函数 l zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
l 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
l 精算现值（包含两层含义）：
l 保险赔付在投保时的期望现值
l 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值
l 精算现值=趸缴净保费
l 由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第三章___人寿保险的精算现值
n年定期保险的趸缴净保费
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险(一年递增一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递增终身寿险（连续递增）
l 给付现值随机变量
l 在UDD假设下，有
l当
时，相当于连续寿险的趸缴纯保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.7
l 某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险， 设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表 （1990-1993年，男女混合表），求这一保单 的趸缴净保费。
l 其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死 亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元， 满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净 保费。
300 000 0.02
1
350 000 0.04
2
400 000 0.06
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
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例3.5答案
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第三章___人寿保险的精算现值
死亡年末给付趸缴净保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
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给付函数: 给付现值随机变量 趸缴净保费
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（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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例3.4
l 某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
基本换算函数
l 在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制 成换算函数表。
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用换算函数表示常见险种的趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.6
l 某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年末 赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司 赔付50 000元；在65岁到75岁之间死亡，受益 人可领取100 000元的保险金；在75岁后死亡， 保险金为30 000元。利用换算函数写出这一保 单精算现值的表达式。
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例3.6答案（1）
l 这份保单可以分解为下列保单的组合
l 50 000元的25年定期寿险 l 100 000元延期25年的10年定期寿险 l 30 000元延期35年的终身寿险的组合
l 这份保单的精算现值的表达式为：
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第三章___人寿保险的精算现值
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。
给付函数
给付现值随机变量
趸缴净保费
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l 几个关系式
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（七）递增型寿险
终身寿险
n年定期
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l 趸缴净保费
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递减定期寿险（一年递减一次）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
递减定期寿险（连续递减）
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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其他各险种的趸缴净保费
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答案
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第三章___人寿保险的精算现值
•第二节 连续型寿 险的精算现值
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相关符号
x ：投保年龄 t ：保单签发到被保险人死亡的时间长度 T ：连续型未来寿命，连续型随机变量
：t 时刻给付的保险金，一般是事先确定好的 ：折现函数，
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例3.4答案
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第三章___人寿保险的精算现值
（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任 范围内的死亡给付保险金。
给付函数
给付现值随机变量
趸缴净保费
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（六）延期m年的n年定期寿险
l 熟练使用换算函数计算离散型各险种 的寿险精算现值
l 掌握离散型、连续型寿险精算现值之 间的关系
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保费的分类-按保费缴纳的方式
l 趸缴保费（一次性缴纳保费） l 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保
费，年龄越大，缴纳的越多) l 均衡保费（定期缴纳保费）
第三章___人寿保险的精算现值
（二）终身寿险
给付函数 给付现值随机变量
趸缴净保费
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例3.3
l 张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知：
l 设预定利率为0.08 l 求这份保单的趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精 算现值
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第三章___人寿保险的精算现值
本章结构
•离散型寿险的精算现值
•人寿保险的 •精算现值
•连续型寿险的精算现值 •两类寿险精算现值之间的关系
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本章学习目标
l 理解寿险精算现值的含义
l 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计 算公式
例3.3答案
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第三章___人寿保险的精算现值
（三） n年期生存保险
l 被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金.
l 只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定.
l 保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 .
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。
每年的赔付支出及其折现值如表所示：
年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值
（1） （2）
(3)=1000×(2) (4)
(5)= (3) ×(4)
11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
55
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5000
1.03-5
4313.04
第三章___人寿保险的精算现值
例3.1答案
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例3.2
l 某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
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人寿保险给付方式的分类
l 分为：连续型寿险和离散型寿险
l 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值
l 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值
l 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
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人寿保险给付上的两大特点
l 不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定
l 给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
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净保费的计算原理
l 收支平衡原理（精算等价原理）：
净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
：保险金在保单签发时的现值，是 一随机变量。
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第三章___人寿保险的精算现值
连续型保险趸缴净保费的计算原理
l 计算公式
保险金给付在保单签发时的精算现值，即先将t 时刻的保险金转化为现值，然后求其期望值。
l 上式中的积分号的上下限有多种形式，这就对 应实际中人寿保险的多种形式。
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l E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
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第三章___人寿保险的精算现值
计算原理
K的不同上下限，对应着不同的险种
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第三章___人寿保险的精算现值
（一）n年定期寿险
给付函数
保险金给付在签单时的现值随机变量
趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
l 与离散型寿险的趸缴净保费计算原理完全一样, 符号也很类似，也有类似的关系.
l 注意掌握各险种及连续型、离散型寿险趸缴净 保费之间的异同点。
P算现值
•第三节 UDD假设下 •连续型寿险和离散型寿险 •趸缴净保费之间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
趸缴净保费的变形公式
•思考：该公式的含义？
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第三章___人寿保险的精算现值
l 自然保费 即 中n=1的趸缴净保费.
l 是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
例3.6答案（2）
l 或者，将这份保单分解成下列保单的组合
l 30 000元的终身寿险 l 20 000元的35年定期寿险 l 50 000元延期25年的10年定期寿险的组合
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第三章___人寿保险的精算现值
练习
l 现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。 该保单规定：被保险人在10年内死亡，则 给付数额为15000元；10年以后死亡，则给 付数额为20000元。设死亡给付发生在保单 年度末。试求其趸缴净保费。
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第三章___人寿保险的精算现值
•第一节 离散型寿 险的趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
本节的主要目标
l 理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 l 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净
保费
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第三章___人寿保险的精算现值
主要险种
l n年期定期寿险 l 终身寿险 l n年期生存保险 l n年期两全保险 l 延期m年的终身寿险 l 延期m年的n年定期寿险 l 递增终身寿险 l 递减n年定期寿险 l 一般变额寿险
（八）递减型寿险
l 给付函数
l 给付现值随机变量 l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
一般变额寿险
l 给付现值随机变量
l 趸缴净保费
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第三章___人寿保险的精算现值
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示：
k
bk+1
qk+1
0
l 以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿 命加死亡之年分数生存寿命：
l 则有
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第三章___人寿保险的精算现值
•假设(UDD)下两类趸缴保费之间的关系
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第三章___人寿保险的精算现值
关于 的计算
l 含义：相当于把死亡发生年划分成m个相等的 部分，保额在死亡发生的那个第m部分的期末 给付1单位的终身寿险的趸缴纯保费