2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第1篇4-2ppt

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第4章
基本初等函数（Ⅱ）
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4．三角函数求值中直角三角形的运用
先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直 角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即
可．
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1．怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任
意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公
式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值； (2) 正 化 主 ： 当 已 知 角 是 大 于 360° 的 角 时 ， 可 用
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1＝sin2α＋cos2α 1＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α
1＝cosαsecα＝sinαcscα 1＝tan45°＝tanαcotα＝cot45°
A
1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα等等．
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α相应的余函数值，然后放上把角α看成锐角时原函数所在 象限的符号；可概括为“奇变偶不变，符号看象限．”
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子、分母同乘以1＋sinα，也可以分子、分母同乘以1－ sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以1 ＋sinα.
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知识归纳 1．同角三角函数的基本关系 (1)倒数关系：tanαcotα＝ (2)商数关系：
1 ；
＝cotα ； ； 1
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＝ tanα ；
A
(3)平方关系：sin2α＋cos2α＝
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(08浙江理)若cosα＋2sinα＝－
，则tanα＝(
)
A. C．－
B．2 D．－2
解 析 ： 将 已 知 等 式 两 边 平 方 得 cos2α ＋ 4sin2α ＋ 4sinαcosα ＝ 5(cos2α ＋ sin2α) ， 化 简 得 sin2α － 4sinαcosα ＋
[例2] 当且仅当θ在什么范围内取值时，等式 ＝ cotθ－cscθ成立？
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第二讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
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2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容
－α sin －sinα cos cosα
π－α sinα
π＋α －sinα
2π－α －sinα cosα
－cosα
－cosα
2kπ＋α (k∈Z) sinα cosα
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－α cosα
A
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(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利 用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值 化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表 或用计算器求出结果)． 2．证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要方法有： (1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角 公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边． (2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边 分别变形化简，得到同一个式子． (3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简 化证明过程．
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设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中a，b，α∈R， 且ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于
( A．4
C．－5 －asinα－bcosα＝5，
)
B．3
D．5
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重点难点
重点：①掌握同角三角函数的关系公式． ②掌握－α，π±α，2π－α，
难点：①诱导公式的规律性． ②公式的综合运用．
±α的诱导公式．
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化简：
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分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下 能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，
利用分式的性质可以达到目标．
A
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4cos2α＝0， 即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.
答案：B
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(3)∵－1860°＝－5×360°－60° ∴f(－1860°)＝－cos(－1860°)
＝－cos(－5×360°－60°) ＝－cos(－60°)
＝－cos60°＝－
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.
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sinα
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(2)诱导公式的规律
诱导公式概括为：
±α(k∈Z)的正弦、余弦值，当k
为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k为奇数时，得角
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k360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区 间(0°，360°)上的角的三角函数值；
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点评：记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①
3,4,5
②5,12,13
③7,24,25
④8,15,17以及它们的倍数，
如3k,4k,5k k∈N＋.
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∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.
答案：C
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讨论，以确定角所在的象限． 4．要熟记特殊角的三角函数值．
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解题技巧
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点评：注意变形的技巧，对于
.我们可以分
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误区警示
1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余3种三 角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先 确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要
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注意公式的合理选择和方法的灵活性．
2．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时， 要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．
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3．“1”的代换
在求值、化简、证明时，常把数1表示为三角函数式 或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化．常见 的代换如下：
A
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3．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应
注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如 果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类
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[例3] 已知α是第三象限的角，且
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