博弈论第四讲

实例
❖ 因为无论对方紧邻自己左边还是右边，自己始 终可以得到1/2的游客，其他的位置皆不可能 得到这么多游客。于是，两个小贩就紧挨着摊 位都摆在了沙滩的中点上
❖ 这个“长滩卖水”的博弈，还可以用于政治选 举中拉票活动的分析，也可以用于解释为什么 卖同类物品的商家都紧挨着布局。不过，我们 引用这个例子是为了说明纳什均衡—本章的主 题：在什么样的策略组合下，博弈的双方可以 得到一个稳定的结果。就像那两个小贩得到稳 定的摊位布局一样。
❖图4-2： 麦琪的礼物 妻子
剪发
不剪
卖表 丈夫
不卖
00 12
21 00
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.2纳什均衡
❖4.1.2 纳什均衡
❖ 纳什均衡是这样一种状态，在该状态下每个参与 人所采取的策略都是对于其他参与人的策略的最 优反应。以二人博弈为例，纳什均衡就是一个策 略组合（甲的策略，乙的策略），甲的策略是对 乙的策略的最优反应，而乙的策略也是对甲的策 略的最优反应。譬如，在囚徒困境博弈中，我们 说（甲供认，乙供认）是一个纳什均衡，就因为 它满足纳什均衡定义所要求的特性—甲供认是对 乙供认的最优反应，而乙供认是对甲供认的最优 反应。
4.1 最优反应与纳什均衡
❖ 故事模 型……………………………………………
❖ “麦琪的礼物”博弈改编自欧·亨利的同名小说。 小说写的是这样一个故事：
❖ 一对经济拮据的夫妻，丈夫吉姆有一只爱不释手 的怀表，却没有表链；而妻子有一头美丽的长发， 却缺少一把玳瑁梳子。他俩感情深厚，生活的美 满知足。在圣诞前夕，俩人分别悄悄外出为对方 购买礼物。结果妻子剪卖自己的长发，为先生买 了条表链，好配他的怀表；而丈夫则卖了怀表， 为妻子买了一把梳子。
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.1最优反应
❖ 同理，我们也可找到妻子对丈夫的任意一个策 略的最优反应，给定丈夫卖表，妻子的最优反 应是不剪发；给定丈夫不卖表，妻子的最优反 应是剪发。为了标记妻子的最优反应，我们也 在相应的单元格中妻子的赢利数字下画一横线 （见图4-2）。
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.1最优反应
4.1 最优反应与纳什均衡
❖ 囚徒困境中存在优势策略纳什均衡（两个人都选 取优势策略），智猪博弈中有重复剔除劣势策略 纳什均衡（一人有优势，另一人没有）。但是， 在很多的博弈中，所有参与人都没有优势策略 （也就不可能有劣势策略）。比如下面这个被称 为“麦琪的礼物”的博弈，我们应如何来求解它 的博弈均衡呢？
我们用赢利表将博弈模型表示如下
❖ 把这个故事转化为博弈模型可以表示为： 图4-1麦琪的礼物
妻子
剪发
不卖
卖表 丈夫
不卖
00 12
21 00
4.1 最优反应与纳什均衡
❖ 观察这个博弈，表中的数字是这样设计出来的？ ❖ 如果丈夫卖了表而妻子剪了发，则他们的礼物对
对方都没有价值，他们各自得到效用0；
❖ 如果丈夫不卖表而妻子不卖发，则他们都没有钱 买礼物给对方，仍各自得到效用0；
❖ 我爱你是因为你爱我，你爱我是因为我爱你。
❖
—佚名
Game Theory & Life
实例
在一个长度为1的沙滩上，均匀地分布着三三两 两的游客。每个游客将消费一瓶水。两个小贩前 来卖水。如果每个游客都只在靠自己最近的那个 小贩那里买水，那么两个小贩将如何布局他们的 摊位？在这样一个博弈中，两个小贩会发现，如 果自己摆在沙滩中点以左（或右）的任何位置都 是不好，因为对方可以通过摆在紧邻自己的右 （或左）2的游客消费者。只有自己 安置在沙滩的正中点，这才是最好的。
❖ 很容易地，我们会在图4-2中发现，（不卖，剪发） 和（卖表，不剪）都满足纳什均衡的条件，即丈 夫不卖表、妻子剪发和丈夫卖表、妻子不剪发， 这两种情况都是纳什均衡。
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.2纳什均衡
❖我们用画线标记出每个人对其他各个策略的最优 反应，然后寻找全部数字都有下划线的单元格来 寻找纳什均衡的方法，叫画线求解法。对于策略
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.2纳什均衡
❖换言之，在纳什均衡状态下，所有参与人都已选 取其最优反应。既然如此，我们就可以通过判断 一个策略组合中的策略是否满足成为彼此的最优 反应来确认它是否是纳什均衡。在图4-2中，我们 用画线标记出了丈夫和妻子对彼此各个策略的最 优反应，显然，如果可以找到某个单元格中两个 人的赢利数字下皆画了横线，那么就代表该组合 中的策略彼此是最优反应，该策略组合就是我们 要寻找的纳什均衡。
第四讲最优反应、纳什均衡与其他几个经典案例 1.最优反应与纳什均衡
2. 电视频道的性别战 3. 懦夫博弈 4. 协调博弈 5. 多重均衡中最可能的结果 6. 没有单纯策略均衡的结果 7. 小结
Game Theory & Life
❖ 我尊重你是因为你尊重我，你尊重我是因为我 尊重你；
❖ 我喜欢你是因为你喜欢我，你喜欢我是因为我 喜欢你；
4.1 最优反应与纳什均衡-- 4.1.1最优反应
❖4.1.1 最优反应 ❖ 我们先要介绍最优反应。最优反应是指，给定
对手选定一个策略，则我选择某个策略比选择 其他策略都要好，那么选择这“某个策略”就 是我对于对手选定策略的最优反应。譬如在图 4-1的博弈中，给定妻子剪发，丈夫的最优反应 是不卖表（因为卖表只得到0，不卖表却得到 1），为了标记出丈夫的最优反应，我们就在 （不卖，剪发）所对应的单元格中丈夫的赢利 数字“1”下面画一条横线（如图4-2所示）； 给定妻子不剪发，则丈夫的最优反应是卖表， 同样，为了标记丈夫的最优反应我们在（卖表， 不剪）所对应的单元格中丈夫的赢利数字“2” 下面画一横线。
❖ 如果丈夫卖表而妻子不剪发，或者丈夫不卖表而 妻子剪发，则他们中有一方可买礼物送给对方， 因为他们如此相爱，送礼方可得到2个单位效用， 受礼方可得到1个单位效用。
4.1 最优反应与纳什均衡
❖ 这个博弈的稳定结果（或者说均衡）是什么呢？ ❖ 我们再也无法寻找到他们的优势策略，因此需要
创造出一些新的寻找稳定结果的方法。可喜的是， 我们确有这样的方法，那就是根据纳什均衡的定 义来求。