定积分的几个简单应用

定积分的几个简单应用 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

定积分的几个简单应用

一、定积分在经济生活中的应用

在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．

例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．

解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是

dq q )5015.065(10000

--⎰

10000

2

3)

1.015(q q -=

50000=，

所求消费者剩余为50000元．

例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．

解 所求的总产量为

⎰⎰+='=10

5

10

5

)1240()(dt t dt t Q Q

105

2)

640(t t +=650=（件）．

二、用定积分求极限

例1 求极限 ∑

=∞

→n

k n n

k 12

3lim ．

解 n

n

n n n n n n

k n

k 121111

2

3+

++=

∑

= )21(1n

n n n n +++=

．

上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i

ξ取⎥⎦⎤

⎢

⎣

⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定

积分定义，有

∑

=∞

→n

k n n

k 12

3

lim ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n

k

n

k n -∑

=∞

→． 解 212

213)(11n k n

k n k n n k n

k n

k -⋅=-∑∑==．

上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成

n 等分，i ξ取⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有

2

213lim k n n k n

k n -∑

=∞

→3

1)1(3111

02

3

2102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式

定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．

例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：

⎰⎰

+≥b

a

b

a

dx x f b a dx x xf )(2)(．

证明 作辅助函数

dt t f x a dt t tf x x

a

x

a

⎰⎰+-

=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且

)(2

)(21)()(x f x

a dt t f x xf x x a ⎰+--

='ϕ

)(2))((21)(2x f a

a x f x f x ---=

ξ [])()(2ξf x f a

x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以

0)()(=≥a x ϕϕ，

取b x =得

⎰⎰

+≥

b

a

b

a

dx x f b a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．