固体理论习题2014

固体理论习题

一、简答题

1、什么是原胞？Wigner-Seitz原胞的特点。

a)在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一

个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单

元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。

b)W-S原胞，是晶格中比较对称的一种原胞。其构成方法是以某个格点为中心，作其

与近邻格点连线的垂直平分面，由这些平分面构成的单元即为W-S原胞。

2、讨论晶体电子结构，为什么要引入倒空间？

3、周期性边界条件的物理意义。

4、如何理解晶格振动的简谐近似，如何理解声子？

5、什么是Fermi能级？绝对零度和有限温时候Fermi能级有什么区别？

对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。

费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。

有限温度的费米分布会引入费米能级附近的展宽，这个温度可以通过展宽来得到。这个时候可以认为展宽与实际电子温度有关。

6、什么是Landau能级？

朗道能级是磁场中电子作回旋运动的量子化能级。考虑电子在均匀磁场 B 中运动。电子沿磁场方向的运动不受影响，但在垂直于磁场的平面内作回旋运动。

7、如何利用能带理论来解释导体、半导体、绝缘体？

8、如何用Hubbard模型来描述Mott绝缘体。

9、什么是近藤效应？

自从1930年以来，实验上发现某些掺有磁性杂质原子的非磁性金属（例如，以铜、金、银等为基，掺入杂质铬、锰、铁等的稀固溶体）的电阻－温度曲线在

低温下出现一个极小值。 按照通常的电阻理论（见固体的导电性），稀固溶体的电阻应随温度下降而单调下降，最后趋于由杂质散射决定的剩余电阻，因此，难以理解上述现象。1964年，近藤淳对这个现象作了正确的解释，因此人们常把它称作近藤效应。

近藤效应，英文：Kondo effect

含有极少量磁性杂质的晶态金属在低温下出现电阻极小的现象。

二、 证明题

1、证明：面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方。

2、证明Bloch 定理。即：由2

*

2(),()()m H V V V =

+=+P r r r R ，

证明：电子波函数()()i e u ψ⋅=k r k r r ，且()()u u =+r r R 。

5、在格点间距为a 格点总数为N 的一维单原子链中，证明

(')10,'00N

i k k na

n k k e N k k +=+≠⎧=⎨+=⎩

∑当 ，当 ?

6、利用紧束缚近似方法，考虑最近邻近似，论述一维单原子链体系的能谱有如下形式：02cos E E t ka =+，0E 为原子能级，t 为两原子之间的耦合能量；讨论该体系中能带的宽度，电子的有效质量。

7、试用Anderson 模型：

证明d 电子的态密度公式为：

三、 计算题

1、一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为a ,电子的波函数为

(i) sin ;k a x πψ=

(ii) 3cos ;

k a i x πψ=

(iii) ()k l f x la ψ∞

=-∞=

-∑

试求电子在这些状态的波矢量。

2、一维双原子链原子间距为a, 相邻

原子质量分别为m和M。原子限制在沿链的方向运动，讨论描述原子振动的色散关系，并指出m=M时的极限情况。

3、限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量

)(2),(2

22y x y x k k m

k k E +=

（i ）求能量E 到E +dE 之间的状态数（态密度）； （ii ）求此二维系统在绝对零度的Fermi 能级。

（iii ）如果在z 方向上加入强度为B 的磁场，能谱如何变化。

4、设有一维晶体的电子能带可写成 2

2

71

()(cos cos 2)88E k ka ka ma =

-+， 其中a

为晶格常数，m 是电子的质量。 试求：（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

5、†0.H c c Un n σ

σσ

ε↑↓=+∑由Hubbard 近似 （i ）推导如下对易关系：[,],[,]c H n H σσ；

（iii ）描述在该近似下库仑相互作用对电子能级的影响。

6、一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为S, m . 同时定义x y S S iS ±=±则容易得出：,()(1),1S S m S m S m S m ±=±+±。另一方面，知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：1a n n =-，††11,a n n n n a a =++=。

（i ）†,a a 表示,z S S ±;

（ii ）利用†,a a 的对易关系计算,z S S ±的对易关系。