高三数学函数的极限与连续性PPT精品课件

如果 li m f(x)＝a 且 li m f(x)＝a，那么就说当
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
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5．已知函数 f(x)＝axc2－os1x((xx<≥0)0)， 在点 x ＝0 处连续，则 a＝________.
【解析】 函数 f(x)在点 x＝0 处连续，02 －1＝acos 0， ∴a＝－1.
• 【答案】 －1
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li m f(x)型极限的求法
＋∞时，f(x)→a.
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当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函
数 f(x)无限趋近于_一__个__常__数__a_，就说当 x 趋向于负
无穷大时，函数 f(x)的极限是 a，记作_x_l→i_m－_∞_f(_x_)_＝__a__，
也可记作当 x→－∞时，f(x)→a.
分子、分母同除以 x，都转化为基本的函数
极限 li m
x→∞
x1n＝0(n∈N*)．
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4．函数的连续性的概念
(1)如果函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义， 而且 lix→mx0 f(x)＝__f_(x_0_)_，就说函数 f(x)在点 x0 处连续．
(2)如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处都 连续，就说函数 f(x)在开区间(a，b)内_连___续___．
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1．li m
x→1
x2－31x＋2－x2－42x＋3等于(
)
A．－12 B.12
C．－16
1 D.6
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【解析】
先
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化
简
代
数
式
1 (x－1)(x－2)
－
2 (x－1)(x－3)
＝(x－x－1)3(－x－2(2x)－(x－2) 3)＝(x－2－)(1x－3)，代入
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2．当 x→x0 时函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x0(但 x≠x0) 时，如果函数 f(x)无限趋近于_一__个__常__数__a__，
就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x)的极限是 a， 记作 lix→mx0 f(x)＝a，也可记作当 x→x0 时， f(x)→a.li x→mx0 f(x) 也 叫 做 函 数 f(x) 在 点 ___x_＝__x_0__处的极限．
续是指在x＝a处右连续，在x＝b处
左连续．
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4．li m
n→－1
x2＋x2－3x＋ 1 2的值等于________．
【解析】
li m
x→－1
x2＋3x＋2 x2－1
＝
li
m
x→－1
(x＋1)(x＋2)
(x＋1)(x－1)
＝li m
x→－1
xx＋ －21＝－12.
【答案】 －12
x→∞
求下列函数的极限：
(1)li m
x→∞
15－x43－x－5xx4；
(2)li m x2－3；
x→－∞ 3 x3＋1
(3)li m x( x2＋1－ x2－1)．
x→＋∞
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【思路点拨】 观察函数的结构特征，对(1)
式分子、分母同除以 x4；对(2)式分子、分
母同除以 x；对(3)式将分子有理化，再将
(3)对于闭区间[a，b]上的函数，如果 f(x)在开区间
(a，b)内连续，在左端点 x＝a 处有 li m f(x)＝f(a)，
x→a＋
在右端点 x＝b 处有 li m f(x)＝__f(_b_)__，就说函数
x→b－
f(x)在闭区间[a，b]上连续．
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5．最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数， 那 么 f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 ______最__大__值__和__最__小__值__________．
x＝1 得，原式＝－1×－(1－2)＝－12.
• 【答案】 A
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2．如图所示，f(x)＝2x－ 2，x(，x>(0x)≤0) 有四个
结论，其中正确的个数是( )
①li m f(x)＝0；②li m f(x)＝2；
x→0＋
x→0－
③li m f(x)＝0；④li m f(x)＝2.
查.
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1．当 x→∞时函数 f(x)的极限 当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果
函数 f(x)无限趋近于__一__个__常__数__a___，就说
当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是
a，记作___xl→_im＋_∞_f_(_x_)＝__a___，也可记作当 x→
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3．函数的左、右极限
如果当 x 从点 x＝x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x)无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的_左__极__限___．记作 lix→mx－0 f(x)＝a. 如果当 x 从点 x＝x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x)无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的__右__极__限__．记作 lix→mx＋0 f(x)＝a. lix→mx－ 0 f(x)＝lix→mx＋ 0 f(x)＝a⇔lix→mx0 f(x)＝a.
• 第三节 函数的极限与连 续性
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1.了解函数极限的概念. 考 2.掌握极限的四则运算法则，
纲 会求函数的极限. 点3.了解函数连续的意义，了解 击 闭区间上连续函数有最大值
和最小值的性质.
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1.函数极限的求法是考查的 热 重点，一般以选择、填空
点 题的形式出现. 提2.函数的连续性一般与函数 示 极限的求法结合在一起考
x→0
x→0
A．1 B．2
C．3 D．4
• 【解析】 ①②正 确．
• 【答案】 B
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• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则 下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
• D．在[a，b]上有最大值
• 【解析】 f(x)在闭区间[a，b]上连