圆的一般方程公开课课件PPT
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x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
叫做圆的一般方程
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
例如（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
探究
配方可得： (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
思考：圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且是1； 没有xy这样的二次项
例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示 圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径．
x y 8x 6y 0 2 2
新疆 王新敞
学案
r 1 D2 E2 4F 5 D 4, E 3
2
22
即圆心坐标为（4，-3）,r=5
还有其它方法吗？
方法总结
求圆的方程常用“待定系数法”，用 “待定系数法”求圆的方程的大致步骤 是①：根据题意，选择标准方程或一般方程;
②根据已知条件列出关于a、b、r或D、E、 F的方程组;
4.1.2 圆的一般方程
二、[导入新课] 1、想一想，若把圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
展开后，会得出怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
（a,b,r均为常数）
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F
所以，任何一个圆方程可以写成下面形式：
课堂小结
(1)圆的一般方程，及由一般方程求圆心， 半径。
(2)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采 用圆的标准方程较简单.
(3).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一般方程用待定系数法求解.
作业：课本P123 第1题
P124 第1题
学习永远 不晚。 JinTai College
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或 一般方程.
Biblioteka Baidu
课堂练习
1．求下列各圆的方程： (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
答案: (1)x2 y2 16 x 6 y 48 0. (2)x2 y2 4x 2 y 20 0.
2
2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（
）
为圆心，以(
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
不表示任何图形。
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2） 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设所求的圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0
A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圆上
F 0
D E F 2 ∵0
D 8, E 6, F 0
新疆 王新敞
学案
4D 2E F 20 0
解：（2）将方程 x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0写成标准方 程为（x+m）2+（y﹣1）2=1﹣5m， 可得圆心坐标为（﹣m，1），半径r=
．
练习：判断下列方程是否表示圆，若是， 求出圆心和半径．
（1）x2+y2﹣2x+1=0； （2）x2+y2+20x+162=0； （3）x2+y2+4mx﹣2y+5m=0．
解：（1）∵方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示圆， ∴D2+E2﹣4F=（2m）2+（﹣2）2﹣4（m2+5m）＞0， 即4m2+4﹣4m2﹣20m＞0，解得m＜ 1 ， 故m的取值范围为（﹣∞，1 ）．
例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示 圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径．
叫做圆的一般方程
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
例如（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
探究
配方可得： (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
思考：圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且是1； 没有xy这样的二次项
例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示 圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径．
x y 8x 6y 0 2 2
新疆 王新敞
学案
r 1 D2 E2 4F 5 D 4, E 3
2
22
即圆心坐标为（4，-3）,r=5
还有其它方法吗？
方法总结
求圆的方程常用“待定系数法”，用 “待定系数法”求圆的方程的大致步骤 是①：根据题意，选择标准方程或一般方程;
②根据已知条件列出关于a、b、r或D、E、 F的方程组;
4.1.2 圆的一般方程
二、[导入新课] 1、想一想，若把圆的标准方程
(xa)2 (yb)2 r2
展开后，会得出怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
（a,b,r均为常数）
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F
所以，任何一个圆方程可以写成下面形式：
课堂小结
(1)圆的一般方程，及由一般方程求圆心， 半径。
(2)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采 用圆的标准方程较简单.
(3).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一般方程用待定系数法求解.
作业：课本P123 第1题
P124 第1题
学习永远 不晚。 JinTai College
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或 一般方程.
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课堂练习
1．求下列各圆的方程： (1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
答案: (1)x2 y2 16 x 6 y 48 0. (2)x2 y2 4x 2 y 20 0.
2
2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（
）
为圆心，以(
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
不表示任何图形。
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2） 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设所求的圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0
A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圆上
F 0
D E F 2 ∵0
D 8, E 6, F 0
新疆 王新敞
学案
4D 2E F 20 0
解：（2）将方程 x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0写成标准方 程为（x+m）2+（y﹣1）2=1﹣5m， 可得圆心坐标为（﹣m，1），半径r=
．
练习：判断下列方程是否表示圆，若是， 求出圆心和半径．
（1）x2+y2﹣2x+1=0； （2）x2+y2+20x+162=0； （3）x2+y2+4mx﹣2y+5m=0．
解：（1）∵方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示圆， ∴D2+E2﹣4F=（2m）2+（﹣2）2﹣4（m2+5m）＞0， 即4m2+4﹣4m2﹣20m＞0，解得m＜ 1 ， 故m的取值范围为（﹣∞，1 ）．
例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示 圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径．