自然数K次方和

18
24
30
36
42
48
54
60
66
72Leabharlann 78666
6
6
6
6
6
6
6
（四） 连续ｎ个自然数四次方和及阶差
ｎ＝ 四次方数和 一阶差 二阶差 三阶差 四阶差 五阶差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
17
98 354 979 2275 4676 8772 15333 25333 39974 60710 89271 127687
9
14 = 1
15
24 = 16
65
50 60
34 = 81
110
175
44 + 256
4!=24
四次方数和
24 24 24 24 24 24
60 84 108 132 156 180 204
50 110 194 302 434 590 770 974+
15 65 175 369 671 1105 1695 2465 3439
２、由上表得知：连续ｎ个自然数的ｋ次方和的阶差与几次方的阶乘有关。分析如下： 二次方数和的阶差 2＝2！＝2×1；三次方数的阶差 6＝3！＝3×2×1
３、连续 k 次方数和会在第 k 阶差时形成等差为 k！的数列。
二、试着推导出连续正整数ｎ次方和的方法 (一)我们的方法：我们称为金字塔式相加法
B
C
A
8
13 = 1
7
23 = 8
12
19
33 = 27
3!=6
三次方数和
66 6 6 66 6
12 18 24 30 36 42 48 54
7 19 37 61 91 127 169 217 271
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
0 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025
5460 11340 20460 33540 51300 74460 103740 139860 183540 235500
五阶差
5880 9120 13080 17760 23160 29280 36120 43680 51960
六阶差
3240 3960 4680 5400 6120 6840 7560 8280
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9
36 100 225 441 784 1296 2025 3025 4356 6084 8281 11025
8
27
64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744
19
37
61
91 127 169 217 271 331 397 469 547
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
六次方数和
1
65 794 4890 20515 67171 184820 446964 978405 2E+06 4E+06 7E+06 1.2E+07 1.9E+07
一阶差
64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1E+06 2E+06 3E+06 5E+06 8E+06
貳、 研究目的：
一、探讨连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律性 二、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次方和的方法 三、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次方和的公式
參、 研究设备及器材：
计算器、纸、笔、计算机、计算机软件：word、excel
肆、 名词解释：
一、连续ｎ个自然数的ｋ次方和: 一串连续自然数的ｋ次方相加所得的和。
− 2) k
+ (−1)1 C1k−2 (k
− 3) k
+ (−1) 2 C2k−2 (k
−
4)
k
..........+
(−1)
k
C
k k
−2
1k
n 个自然数 k 次方和=
C
1 n
k
n −1
+
C
n n−2
(2
k
− 1k )
+
C
n n−3
(3
k
−
2 • 2k
+ 1k )
+
C
n n−4
(4
k
−
3 • 3k
二阶差
665 3367 11529 31031 70993 144495 269297 468559 771561 1E+06 2E+06 3E+06
三阶差
2702 8162 19502 39962 73502 124802 199262 303002 442862 626402 861902
四阶差
12 = 10
3
22 = 4
2!=2
二次方数和
2 2 2 2 22 2 2
3 5 7 9 11 13 15 17 19
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
0 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385
说明： 第一层：放二阶乘
第二层：放 22 -12 （第一个数）；3+2（第二个数）；5+2（第三个数） 第三层：放12 （第一个数）；1+3（第二个数）；4+5（第三个数） 第四层：放 02 (前面补 0) ； 0+1=(12 ) ； 1+4(12 + 22 )
5
14
30
55
91 140 204 285 385 506 650 819 1015
4
9
16
25
36
49
64
81 100 121 144 169 196
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
（三） 连续ｎ个自然数三次方和及阶差
ｎ＝ 三次方数和 一阶差 二阶差 三阶差 四阶差
一阶差
32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051 248832 371293 537824
二阶差
211 781 2101 4651 9031 15961 26281 40951 61051 87781 122461 166531
三阶差
570 1320 2550 4380 6930 10320 14670 20100 26730 34680 44070
四阶差
750 1230 1830 2550 3390 4350 5430 6630 7950 9390
五阶差
480 600 720 840 960 1080 1200 1320 1440
六阶差
120 120 120 120 120 120 120 120
（六） 连续ｎ个自然数六次方和及阶差
ｎ＝
1
2
3
84 108 132 156 180 204 228 252 276 300
24
24
24
24
24
24
24
24
24
5
（五） 连续ｎ个自然数五次方和及阶差
ｎ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
五次方数和
1
33 276 1300 4425 12201 29008 61776 120825 220825 381876 630708 1E+06 2E+06
例如：3 个自然数的 1 次方和： 11 + 21 +31 ＝6 。
二、阶差: 一个由小排到大的数列，用后数减前数所得的差。
三、阶乘：由某数递减连乘。如：５！＝５×４×３×２×１。
四、等差数列：由小排到大（或由大排到小），相邻两数差一样的数列。
如：1、2、3、4、、、或 5、9、13、17、、、等。
60+24（第二个数）；84+24（第三个数）
第三层：放(34 - 24 )-( 24 -14 )＝34 －2( 24 )＋14 ＝50（第一个数）；50+60（第二个数）；
110+84（第三个数）
第四层：放 24 -14 ＝15（第一个数）；15+50（第二个数）；65+110（第三个数）
第五层：放14 （第一个数）；1+15（第二个数）；16+65（第三个数）
2
流程图 利用紙筆嘗試用不同方法計算 n 次方和
方法一 : 利用除法 失敗
方法二 : 利用階差法 應用電腦軟體計算製表格 利用金字塔式相加的方法算出 試著以我們的方法解出 1~8 次方 的和
推導公式 帶數字證明公式
整理公式 结束
陸、 研究结果与讨论：
3
一、 探讨连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律性 （一）连续 n 个自然数一次方和及阶差
+
3• 2k
+ 1k )
+
C
n n−5
(5
k
−
4 • 4k
+
6 • 3k
−
4 • 2k
+ 1k )
.
.
.
+
C
n n −1− k
k
!
1
壹、 研究动机
高斯在小学时曾做过这样的题目：「1＋2＋3＋4……..＋97＋98＋99＋100」，高斯想了一下 便算出了答案，他的作法是「1＋100」＋「2＋99」…….「50＋51」总共有 50 个 101，聪明的 高斯想出了这样的公式 n×（n＋1）÷2。我们想学习高斯试着找出连续ｎ个自然数二次方数 和、连续ｎ个自然数三次方数和……连续ｎ个自然数的ｋ次方和的规律并推出公式。
七阶差
720 720 720 720 720 720 720
6
（二）、研究讨论： 我们的发现：
１、一次方数和会在第一阶差时形成等差为 1 的数列。 二次方数和会在第二阶差时形成等差为 2 的数列。 三次方数和会在第三阶差时形成等差为 6 的数列。 四次方数和会在第四阶差时形成等差为 24 的数列。 五次方数和会在第五阶差时形成等差为 120 的数列。 六次方数和会在第六阶差时形成等差为 720 的数列。
−1) k
+
(−1)
2
C
k 2
(k
− 2) k .......... + (−1) k
C
k k
1k
第三层第一个数=
C
k 0
−1
(k
−1) k
+ (−1)1 C1k −1 (k
− 2) k
+
(−1)
2
C
k 2
−1
(k
−
3)
k
..........
+
(−1)
k
C
k k
−11k
第四层第一个= C0k−2 (k
作品名称：连续 n 个自然数的 k 次方和之研究
摘要：
我们在书上看到高斯推导出这样的公式 n×（n＋1）÷2，引起我们的动机想推出连续ｎ 个自然数二次方和、连续ｎ个自然数三次方和……连续ｎ个自然数ｋ次方和。
首先，我们应用 Excel 软件计算出连续自然数 n 次方和及各阶差，发现连续 k 次方数和会 在第 k 阶差时形成等差为 k！的数列。
说明： 第一层：放三阶乘
第二层：放(33 - 23 )-( 23 -13 )（第一个数）；12+6（第二个数）；18+6（第三个数） 第三层：放 23 -13 （第一个数）；7+12（第二个数）；19+18（第三个数） 第四层：放13 （第一个数）；1+7（第二个数）；8+19(第三个数) 第五层：放 03 (前面补 0) 0+1=(13 ) 1+8=(13 + 23 )
五、组合：n
个不同的事物中，选取
m
个，用 Cmn
=
n! m!(n −
m)!
伍、 研究过程：
一、探讨连续自然数ｎ次方和的规律性 应用 Excel 软件计算出连续自然数 n 次方和及各阶差。
二、试着推导出连续自然数ｎ次方和的方法 利用纸笔尝试不同方法推导出连续自然数ｎ次方和的方法
三、试着推导连续ｎ个自然数的ｋ次方和的公式
A+B
A +B+C
7
11 = 1
1!=1
一次方数和 11 11 1 1 1 1
123 4 5 6 7 8 9
0 1 3 6 10 15 21 28 36 45
说明： 第一层：放一阶乘
第二层：放11 （第一个数）；1＋1（第二个数）； 2+1（第三个数） 第三层：放 01 （前面补 0）；0+1=(11 )；1+2= (11 + 21 )
下一步，我们利用金字塔式相加法算总和时，第一层放 k!，每一层的第一个数 只要算出来，即可用金字塔式相加法算出总合；当第一层放一个 k! ，可推出 (k+1)个的总和 ；从第二层开始的每一层之第一个数都隐藏着帕斯卡尔系数，我们尝试用以下公式表示:
第二层第一个数=
C
k 0
k
k
+ (−1)1 C1k
(k
第六层：放 04 (前面补 0) 0+1=(14 ) 1+16=(14 + 24 )
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000
0 1 17 98 354 979 2275 4676 8772 15333 25333
说明： 第一层：放四阶乘
第二层：放( 44 -34 )-2(34 - 24 )+( 24 -14 )＝ 44 －3(34 )＋3( 24 )＋14 ＝60（第一个数）；
ｎ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
一次方数和 1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91 105
一阶差
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
二阶差
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（二）连续 n 个自然数二次方和及阶差
ｎ＝ 二次方数和 一阶差 二阶差 三阶差
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11