浅析物理分辨率和分析分辨率

浅析物理分辨率与分析分辨率

刘佳鑫

13S105041

摘要：介绍了物理分辨率和分析分辨率的概念，通过仿真分析了两者的区别。

关键词：物理分辨率分析分辨率

Study on physical resolution and analytical

resolution

Liu Jiaxin

Abstract:This paper introduces the concept of physical and analytical resolution and analyzs the difference between the two through the simulation.

Key words: physical resolution，analytical resolution

引言

物理分辨率和分析分辨率都是数字信号处理过程中我们需要考虑的问题，物理分辨率为先，分析分辨率为后，只有满足了物理分辨率的要求考虑分析分辨率才有意义。

一．物理分辨率与分析分辨率

要区分物理分辨率和分析分辨率（又称计算分辨率），首先我们需要了解这两个概念的意义，在此也就涉及到了一些相关知识。

1.数字信号处理过程

下面让我们回顾数字信号处理的过程（借用了教材P560的图），如图1所示。

图1 信号处理过程

通常我们要处理的信号在时域和频域上都是连续的，为了利用计算机等设备

实现数字信号处理，我们需要两个采样的过程，时域采样和频域采样。

时域采样，即图1中c 到d 的过程，当符合奈奎斯特采样定理（即2s m f f ≥）时，就可以通过离散时间信号恢复连续时间信号。

频域采样，即图1中f 的过程，当满足N M ≥时，就可以通过离散的频率恢复连续的频谱。

观察可以发现，时域采样要求频域大于等于双边带宽，频域采样要求N 要满足大于等于时域的“有效长度”M 。有一种时域频域对称的美。

2.区分DFT ，DTFT 和DFS

为了更好地理解物理分辨率和分析分辨率，我们来区分几个概念，DFT ，DTFT ，DFS 。

首先，明确下我们需要研究的是离散时间信号的傅里叶变换，即DTFT （类似f 中的实线的连续频谱，但不是），然而一方面由于无限长序列的傅里叶变换经常是不存在的，另一方面连续的谱线不利于数字方式的处理，所以我们引入了DFT 去近似地表达DTFT 。DFT 并不是一个真正的具有物理意义的变换，它只是一种用于计算的方法。DFT 是有限长序列的离散傅里叶变换，即相当于要有个加窗处理（图e ），而这时候又遇到了个新的问题，窗函数具有谱平滑作用，使得一个频率处的分量泄露到相邻的另一个分量中去，这样就带来了分辨率（注意此处指的是物理分辨率）降低和谱泄露。DTFT 和DFT 计算公式如下：

DTFT:

()()jw

jwn

n X e

x n e

∞

-=-∞

=∑

（1）

DFT:

()()21

N j

kn N

n X k x n e

π

--==∑

（2）

DFT 可以看做离散周期信号的DFS 的主值序列。

3.区分物理分辨率与分析分辨率

讲了那么多，到底物理分辨率和分析分辨率是什么呢？下面切入正题。 回归图1，分析整个信号处理的过程我们发现了先后需要注意三个问题。 1) 时域采样，我们需要满足奈奎斯特采样定理，由于滤波器边带不陡峭我

们往往需要大于2倍频率，而这个频率过大又没有实际意义，采样频率

选择的问题不作为我们讨论的重点。（研究s f 的问题）

2) DFT 引入了加窗，也就产生了物理分辨率降低和频谱泄露的问题。而这

个和什么有关，显然窗函数的主瓣宽度越小越好，冲激函数函数就是极限的最理想的情况，而主瓣宽度只与窗形状和窗长度有关，即与T 有关。（当s f 一定时，研究M 的问题）

3) 频域采样，简单的看M 点的DFT 能够导致错误的解释，人们常常使用

补零的方法，对频谱进行充分地过采样，以便于将一些重要特征表现出来，也就是提高分析分辨率。（当s f 和M 一定时，研究N 的问题） 如果对这两个概念还有困惑，更通俗的解释一下。假如我们需要研究的DTFT 是一手资料，加窗后产生了误差变成了二手资料，而不幸的是我们往往看到的是又经过频域采样产生的三手资料。

一手资料：

()()jw

jwn

n X e

x n e

∞

-=-∞

=∑

（3）

二手资料:

()()()1

1

N M jw

jwn

jwn

n n X e

x n e

x n e ----====∑∑

（4）

三手资料:

()()21

N j

kn N

n X k x n e

π

--==∑

（5）

提高物理分辨率就是使图f 中的连续频谱（二手资料）更接近于我们想研究的DTFT （一手资料），往往通过提高T 的方式；提高分析分辨率就是使图f 中的采样点（三手资料）尽可能全面地体现图f 中的连续谱（二手资料）的特征，往往通过提高N 来实现。

通过以上的分析，相信大家应该能大体理解这两个公式了。 物理分辨率：

1s

f T M = （6） 分析分辨率：

s

f N

（7）

二． 仿真分析

假设信号由两个正弦量组成，()()01sin(2)0.5sin 2x t f t f t ππ=+，其中01f k H z =，1 1.1f kHz =，采样频率为10s f kHz =，采用矩形窗，M 为窗函数长度，N 为DFT 长度。

为了区分开两个频率，物理分辨率：

0.1s

f f kHz M

≤∆=，可得M 最小取100，而根据频域采样要求需满足N M ≥。下面对不同的M 和N 值进行仿真和分析。

M=50，N=200时，如图2所示：

图2 M=N=50

图2中从上至下四幅图分别为：最上面的是时域采样后的信号，第二幅图是DFT 的stem 图，第三幅是DFT 的plot 图，第四幅是序列的傅里叶变换（横坐标取区间0~2π）。 第二三幅图相当于上面说的三手资料，第四幅图相当于二手资料。

可见无法区分两个频率，N 值大只是让第三幅图更接近于第四幅。故M 不

满足要求，N 再大也没有意义（即物理分辨率达不到要求，提高分析分辨率没有实际意义）。