极限和连续ppt

lim x n = A
n→ ∞
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2、函数极限 定义： 定义 ： 函数 y = f ( x ) ， 若当x
lim f ( x ) = A
x→o
趋近于○ 趋近于 ○ 时 ， f( x 趋近一个确定的常数A 函数 x ) 趋近一个确定的常数 A ， 则称当 趋 为极限。 于○时，函数 f ( x ) 以A为极限。记为 y=
10 5
时分式的分子、 解：当 x → ∞ 时分式的分子、分母的极限都 不存在， 不存在，不能用极限的除法法则
( 3 x − 1) 10 (1 − 2 x ) 5 25 lim =− 5 15 x→∞ ( 3 x + 1) 3
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1+ x −1 2、 lim x→0 sin 2 x
时分式的分子、 解： 当 x → 0 时分式的分子、分母的极限都 且分子中含有无理根式。 为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需 先将根式有理化
极限的四则运算法则； 极限的四则运算法则； 两个重要极限； 两个重要极限； 函数的连续性。 函数的连续性。
具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件， 具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件， 否则会在运算中出现错误。 否则会在运算中出现错误。
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例 求下列极限
( 3 x − 1) (1 − 2 x ) 1、 lim 15 x →∞ ( 3 x + 1)
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讨论n 讨论n无限增大时
x n的变化趋势： 的变化趋势：
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数列极限定义： 数列极限定义：
若当n无限增大时， 一数列 { x n } ，若当n无限增大时， n x 无限趋近某个固定常数A 则称当n 无限趋近某个固定常数A，则称当n趋 于无穷时，数列 { x n }以A为极限。 于无穷时， 为极限。 记为
解：先进行恒等变形，在利用第2个重要极限 先进行恒等变形，在利用第2
1 1x 1+ (1+ ) x +1 x x )x = lim x = e = e2 lim ( ) = lim ( x→∞ x −1 x→∞ x→∞ 1 1 x e−1 1− (1− ) x x
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5、
tan x lim x→0 x
3、
4、
x + x − 2x lim 3 x → −2 x − x 2 − 6 x 2 x −1 lim (1 + ) x→∞ x
3 2
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对照练习1 对照练习1、答案
1、
2 8 1 ( ) ⋅ 3 9
7 4 3 5
2、、
3、
4、
e2
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一、主要内容归纳： 主要内容归纳：
（一）函数极限
1、数列极限 按一定规律排列的一串数
x1 , x 2， … x n …… …
称为数列， 称为数列，记为 { x n } 。第n项称为数列 的通项。 的通项。数列可看作是定义在正整数集合 上的函数， n=1,2,3……） 上的函数，即 xn = f (n)（n=1,2,3……）
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（二）连续与间断
1、点连续
lim f ( x ) =
x → x0
f ( x0 )
在点连续的这一定义中，以下三个 在点连续的这一定义中， 条件要同时满足： 条件要同时满足： ⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义； f(x)在点 的某一邻域有定义； 在点x ⑵、f(x)在点x0有极限； f(x)在点 有极限； 在点x ⑶ 、 f(x) 在点 x0 的极限值等于函数值 。 f(x)在点 的极限值等于函数值。 在点x
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教学重点： 教学重点：
0 函数极限（特别是“ 1、函数极限（特别是“ 0
∞ ”、“ ∞
”
型） 两个重要极限的计算； 2、两个重要极限的计算； 无穷大、 无穷小的概念、 3 、 无穷大 、 无穷小的概念 、 性质和 关系。 关系。
教学难点： 教学难点：
点连续及间断点的判断。 点连续及间断点的判断。
x − 5x + 4 ( x − 1)( x − 4) ( x − 1) 4 − 1 3 lim 2 = lim = lim = = x →4 x − x − 12 x →4 ( x + 3)( x − 4) x →4 ( x + 3) 4+ 3 7
2
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x+1 x ) 4、 lim ( x→∞ x − 1
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无穷小量的重要性质： 无穷小量的重要性质：
无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
1 如 当 x → ∞ 时， 2 sin x 是无穷小量 x
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5、极限的四则运算
对某一极限过程x→○ 对某一极限过程x→○， 若limu＝A，limv＝B，则有： limu＝ limv＝ 则有： 1、lim(u±v) ＝limu±limv＝A±B； lim(u± limu±limv＝ 2、lim(u·v) ＝limu·limv＝AB limu·limv＝ 若v＝c (c是常量)，有lim(cu) ＝climu＝cA； (c是常量 是常量) climu＝cA； u lim u A 3、 lim = = ，（B ≠ 0）。 v lim v B 推论： 为自然数） 推论：①、limun＝(limu)n ＝An （n为自然数） ②、lim
n
为自然数） u = n lim u = n A （n为自然数） （C是常数） 是常数） 孙平制作
③、limC＝C limC＝
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两个重要极限推广形式
sin （） lim （） = 1 （） 0 →
1 （） ) lim (1 +（） = e （） ∞ →
3、极限存在的充要条件
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例、设函数 x=0 求x=0点 x≥0 的左右极限， 并判断在x= x=0 的左右极限 ， 并判断在 x=0 点是否存在 极限 解： xlim f ( x ) = xlim x = 0 →0 →0
− −
x f ( x) = 1
x<0
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ 1 = 1
0 (属“ ”型） 0
(属“1∞”型）
1 （）
或
（） lim (1 + )
→ （） 0
=e
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注：这里教材中相应公式原 的位置，统统被“（）” 来x的位置，统统被“（）”取 它可以是任一有意义的函数， 代，它可以是任一有意义的函数， 这时的公式实际比原公式应用更 并给学者提供了想象空间， 广。并给学者提供了想象空间， 不具体给出函数形式。 不具体给出函数形式。
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第2章
极限与连续
主 讲：孙 平
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教学目的： 教学目的：
⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极 知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限） 限存在的充分必要条件。 限存在的充分必要条件。 了解无穷小量概念， 了解无穷小量与无穷大量的关系， ⒉ 了解无穷小量概念 ， 了解无穷小量与无穷大量的关系， 知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量， 知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即
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x − 5x + 4 3、、 lim 2 x → 4 x − x − 12
2
解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且 当时分式的分子、分母的极限都为0 分式的分子、分母均为的二次多项式， 分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到 此情形需先分解因式，消去极限为零的因式 此情形需先分解因式， 再用除法法则
解：利用第一个重要极限
tan x sin x 1 lim = lim ⋅ = 1⋅ 1 = 1 x →0 x →0 x x cos x
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对照练习1 对照练习1、求下列极限
1、
( x − 1) ( 2 x + 1) lim x →∞ ( 3 x + 1)10
2
8
2、
3 + x − 2x lim x →1 1− x
f ( x0 ) = f (lim x )
x → x0
连续函数极限符号与函数符号可以交换 如
1 lim ln(1 + x ) = lim ln(1 + x ) x →0 x x→0 = ln lim (1 + x ) = ln e = 1
x→0 1 x
1 x
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（三）极限的计算方法： 极限的计算方法：
注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义， 注意： 以上是一个符号系统，构成极限定义， 缺一不可； 缺一不可； 2、极限过程x→○是指 极限过程x→○ x→ x→x0, x→x0
－,
x→x0
＋,
x→∞,
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x→＋ x→＋∞,
百度文库x→－ 中的一种。 x→－∞中的一种。
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1 lim x sin = 0 x→ 0 x
⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限， 的一般方法。 的一般方法。 了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念， 知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 孙平制作
x≠0 x=0
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无定义） 解：1、x=1 （无定义） x=1 2、x=0（极限不存在） x=0 极限不存在） 3、x=0（极限值不等于函数值） x=0（极限值不等于函数值）
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3、利用连续性求极限
由 lim x→ x
0
x = x 0 可知
lim f ( x ) =
x → x0
x→0
因为在x=0处左右极限不相等， 因为在x=0处左右极限不相等，所以在 处左右极限不相等 x=0处极限不存在 x=0处极限不存在
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4、无穷小量与无穷大量
以零我极限的变量称为无穷小量； 以零我极限的变量称为无穷小量； 绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量 称为无穷大量。 称为无穷大量。 无穷小量与无穷大量的关系是： 无穷小量与无穷大量的关系是： 1 lim f ( x) = 0 ⇔ lim =∞ x→x x→x f ( x) f ( x) ≠ 0 0 0
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2、间断点 函数的不连续点称为间断点 例：求下列函数的间断点
1、 、
x2 + x − 1 f ( x) = x −1
x ≠ 0 x = 0
1 sin x 2、 f ( x ) = 、 0
x2 + 3x − 1 3、 f ( x ) = 、 0