10第十讲 离散傅里叶变换的性质

第3章 离散傅里叶变换
复序列x(n) = e
j
2π n N
是圆周共轭对称序列,因x (−n) = [e
*
−j
2π n * N
] =e
j
2π n N
= x ( n)
2π 2π 2π n)是偶对称序列,因xr (−n) = cos(− n) = cos( n) = xr (n) N N N 2π 2π 2π 其虚部xi (n) = sin( n)是奇对称序列,因xi (−n) = sin(− n) = − sin( n) = − xi (n) N N N 其实部xr (n) = cos( 复序列x(n) = je
第3章 离散傅里叶变换
是圆周共轭对称序列
−j 2π n * N N
因x* ((−n)) N RN (n) = [e 其实部xr (n) = cos(
] RN ( n ) = [ e
j
2π n N
] N RN ( n ) = x ( n )
2π n)是圆周偶对称序列 N 2π 因xr ((−n)) N RN (n) = cos((− n)) N RN (n) N 2π = cos(( n)) RN (n) = xr ((n)) N RN (n) = xr (n) N ⇒ xr (n) = xr ((− n)) N RN (n) 2π n)是圆周奇对称序列 N 2π 因xi ((−n)) N RN (n) = sin((− n)) N RN (n) N 2π = − sin(( n)) N RN (n) = − xi ((n)) N RN (n) = − xi (n) N ⇒ xi (n) = − xi ((−n)) N RN (n) 其虚部xi (n) = sin(
复序列x(n) = je
*
j
2π n N
第3章 离散傅里叶变换
是圆周共轭反对称序列
−j 2π n * N N
因x ((− n)) N RN (n) = [ je 其虚部xr (n) = cos(
] RN (n) = [− je
j
2π n N
] N RN ( n ) = − x ( n )
即x(n) = − x* ((−n)) N RN (n) 2π n)是圆周偶对称序列 N 2π 因xr ((− n)) N RN (n) = cos((− n)) N RN (n) N 2π = cos(( n)) RN (n) = xr ((n)) N RN (n) = xr (n) N ⇒ xr (n) = xr ((− n)) N RN (n) 2π n)是圆周奇对称序列 N 2π 因xi ((− n)) N RN (n) = − sin((− n)) N RN (n) N 2π = sin(( n)) N RN (n) = − xi ((n)) N RN (n) = − xi (n) N ⇒ xi (n) = − xi ((− n)) N RN (n) 其实部xi (n) = − sin(
1 1 * xe (n) = [x(n) + x(−n)], X r (k ) = X (k ) + X (k ) 2 2 DFT [xe (n)] = X r (k ), IDFT [X r (k )] = xe (n)
[
] ]
1 1 xo (n) = [x(n) − x(−n)], X i (k ) = X (k ) − X * (k ) 2 2j DFT [xo (n)] = − jX i (k ), IDFT [− jX i (k )] = xo (n)
1 1 x(n) + x* (−n) , X r (k ) = X (k ) + X * (k ) , DFT [xe (n)] = X r (k ), IDFT [X r (k )] = xe (n) 2 2 1 1 xo (n) = [x(n) − x(−n)], X i (k ) = X (k ) − X * (k ) , DFT [xo (n)] = − jX i (k ), IDFT [− jX i (k )] = xo (n) 2 2j 1 1 xr (n) = x(n) + x* (n) , X e (k ) = X (k ) + X * (−k ) , DFT [xr (n)] = X e (k ), IDFT [X e (k )] = xr (n) 2 2 1 1 xi (n) = x(n) − x* (n) , X o (k ) = X (k ) − X * (−k ) , DFT [ jxi (n)] = X o (k ), IDFT [X o (k )] = jxi (n) 2j 2
[
]
[
]
[ [
] ]
第3章 离散傅里叶变换
1.实序列x(n) = xe ( n)偶 + xo (n)奇, X (k ) = X r (k )实部 ห้องสมุดไป่ตู้ jX i (k )虚部 xe (n) DFT → ← IDFT X r (k ) xo ( n) DFT → ← IDFT jX i (k )
第3章 离散傅里叶变换
(2)序列的对称分量
奇对称分量 : xo (n) = (x(n) − x(−n) ) / 2 xo (n)、x e (n)的长 奇偶 x(n) = xo (n) + xe (n) 偶对称分量 : xe (n) = ( x(n) + x(−n) ) / 2 度均为2 N − 1 1 圆周 圆周奇对称分量 : xop (n) = 2 [x((n)) N − x(( N − n)) N ]RN (n) 1 x(n) = xop (n) + xep (n) 圆周偶对称分量 : xep (n) = [x((n)) N + x(( N − n)) N ]RN (n) 2 1 共轭反对称分量 : xo (n) = x(n) − x ∗ (−n) 共轭 2 x(n) = xo (n) + xe (n) 共轭对称分量 : x (n) = 1 x(n) − x ∗ (−n) e 2 1 圆周共轭反对称 : xop (n) = x((n)) N − x ∗ (( N − n)) N RN (n) 圆周共轭 2 x ( n) = x ( n) + x ( n) 1 o e 圆周共轭反对称 : xep (n) = x((n)) N + x ∗ (( N − n)) N RN (n) 2
第3章 离散傅里叶变换
圆 周 偶 对 称(序 列)
周期延拓偶对称
第3章 离散傅里叶变换
圆 周 奇 对 称(序 列)
周期延拓奇对称
第3章 离散傅里叶变换
2π 实序列xr (n) = cos( n)是圆周偶对称序列 N 2π 因xr ((−n)) N RN (n) = cos((− n)) N RN (n) N 2π = cos(( n)) RN (n) = xr ((n)) N RN (n) = xr (n) N ⇒ xr (n) = xr ((−n)) N RN (n) 2π 纯虚序列xi (n) = j sin( n)是圆周奇对称序列 N 2π 因xi ((−n)) N RN (n) = j sin((− n)) N RN (n) N 2π = − j sin(( n)) N RN (n) = − xi ((n)) N RN (n) = − xi (n) N ⇒ xi (n) = − xi ((−n)) N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换
第十讲 DFT的性质
3.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 离散傅里叶级数（ ）
第3章 离散傅里叶变换
三、DFT的对称性
分为： (1)序列的对称性 (2)序列的对称分量
第3章 离散傅里叶变换
(1)序列的对称性
奇对称 : x(n) = − x(−n) 针对实或纯虚序列 奇偶 偶对称 : x(n) = x(−n) 圆周奇对称 : x(n) = − x(( N − n)) N RN (n) 针对实或纯虚序列 圆周 圆周偶对称 : x(n) = x(( N − n)) N RN (n) 共轭反对称 : x(n) = − x ∗ (−n), 实部奇对称， 虚部偶对称 共轭 共轭对称 : x(n) = x ∗ (−n), 实部偶对称， 虚部奇对称 圆周共轭反对称 : x(n) = − x ∗ (( N − n)) N RN (n) 实部圆周奇对称， 虚部圆周偶对称 圆周共轭 圆周共轭对称 : x(n) = x ∗ (( N − n)) R (n) N N 实部圆周偶对称， 虚部圆周奇对称
第3章 离散傅里叶变换
x(n)
奇偶对称
y(n)=x(-n)
x(n)与y(n) 互为偶对称 n 0 xe(n) 为偶对称序列 n x(n) 0 互为奇 对称 n 0 x(-n) 00 n 0 xo(n) 为奇对称 序列 n 0 n
第3章 离散傅里叶变换
2π 实序列xr (n) = cos( n)是偶对称序列 N 2π 2π n) = cos( n) = xr (n) 因xr (− n) = cos(− N N ⇒ xr ( n ) = xr ( − n ) 2π 纯虚序列xi (n) = j sin( n)是奇对称序列 N 2π 2π 因xi (− n) = j sin( − n) = − j sin( n) = − xi (n) N N ⇒ xi (n) = − xi (−n)
第3章 离散傅里叶变换
1 xep (n) = [x((n)) N + x(( N − n)) N ]RN (n), 2 1 X ep (k ) = [ X ((k )) + X (( N − k ))]RN (k ), 2 DFT xep (n) = X ep (k ), IDFT X ep (k ) = xep (n)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
3.复序列x(n) = xep (n)圆周偶对称 + xop (n)圆周奇对称, X (k ) = X ep (k )圆周偶对称 + X op (k )圆周奇对称 xep (n) DFT → ← IDFT X ep (k ) xop (n) DFT → ← IDFT X op (k ) ,
j 2π n N
是共轭反对称序列,因x (−n) = [ je
*
−j
2π n * N
] = − je
j
2π n N
= − x ( n)
2π 2π 2π n)是偶对称序列,因xr (−n) = cos(− n) = cos( n) = xr (n) N N N 2π 2π 2π 其实部xi (n) = − sin( n)是奇对称序列,因xi (− n) = − sin(− n) = sin( n) = − xi (n) N N N 其虚部xr (n) = cos(
第3章 离散傅里叶变换
序列)的例子 圆 周 共 轭 对 称(序列 的例子 序列
实部
虚部
实 部 圆 周 偶 对 称, 虚 部 圆 周 奇 对 称
第3章 离散傅里叶变换
圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列)例子
实部
虚 部
实 部 圆 周奇 对 称, 虚 部 圆 周 偶 对 称
复序列x(n) = e
2π j n N
[
第3章 离散傅里叶变换
2.复序列x(n) = xe (n)共轭对称 + xo (n)共轭反对称, x(n) = xr (n)实 + jxi (n)虚 X (k ) = X r (k )实部 + jX i (k )虚部，X (k ) = X e (k )共轭对称 + X o (k )共轭反对称 DFT → xe (n) ← IDFT xe (n) = DFT → X r ( k ) xo ( n ) ← IDFT DFT → jX i (k ) , xr (n) ← IDFT DFT → X e (k ) xi (n) ← IDFT jX o (k )