数学模型及典型案例分析1

分段多项式插值
实际应用中常用三种类型的边界条件作为附加条件 1. 给定两端点的一阶导数s’(x0) =y’0, s’(xn) =y’n; 2. 给定两端点的二阶导数s’’(x0) =y’’0, s’’(xn) =y’’n; 3. 周期边界条件s’(x0)=s’(xn), s’’(x0)=s’’(xn).
多项式插值
线性插值
寻求直线方程f(x)=ax+b, 满足
解得
ax0 b g ( x0 ), ax1 b g ( x1 ).
3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
g ( x1 ) g ( x0 ) a , x1 x0 x1 g ( x0 ) x0 g ( x1 ) b . x1 x0
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
多项式插值
三次插值
寻求三次函数方程f(x)=ax3+bx2+cx+d, 满足
axi3 bxi2 cxi d g ( xi ), i 0,1,2,3.
1. 数值解
设时间步长为Δt, 则
P ( x , y ) (0, h), v (a,b), 0 0 0 0 bxi 1 byi 1 , ), vi 1 (a 2 2 2 2 x y x y i 1 i 1 i 1 i 1 P ( x , y ) P v t , i 1,2, i i i 1 i 1 i
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
多项式插值
二次插值
百度文库
寻求二次函数方程f(x)=ax2+bx+c, 满足
2 ax0 bx0 c g ( x0 ), 2 ax1 bx1 c g ( x1 ), 2 ax2 bx2 c g ( x2 ).
李志林，欧宜贵编著
化学工业出版社
广西民族大学数学与计算机科学学院
曹敦虔制作
目录
数学建模导言 2. 插值与拟合 3. 微分方程建模方法 4. 差分法建模 5. 计算机模拟 6. 层次分析法 7. 数据的统计描述与分析 8. 回归分析方法 9. 优化模型 10. 确定型时间序列预测法 11. 随机型时间序列预测法
的游动方向才能以最少的时间到达对岸?
建模过程总结
简化假设
设定符号变量 建立模型
求解模型
解的讨论及推广应用
数学建模的基本方法和步骤
基本方法
机理分析 2. 测试分析
1.
数学建模的基本方法和步骤
一般步骤
1. 2.
3.
4. 5.
问题分析 模型假设 模型建立 模型求解 模型检验和应用
示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向
始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。
示例1 鸭子过河
模型假设
1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数;
3. 初始时鸭子的位置为A;
4. 鸭子游动的方向始终指向O.
示例1 鸭子过河
1.4
1.2
1
0.8 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
分段多项式插值
分段线性插值函数表达式
f ( x) y j l j ( x),
j 0
n
其中
x x j 1 , x j 1 x x j x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 x j x j 1 0, 其它.
模型建立
取O为坐标原点， 河岸朝顺水方向为 x轴，y轴指向对岸。 关键是如何求出P 点坐标(x,y)关于时 刻t的表达式.
示例1 鸭子过河
t时刻鸭子本身的速度为
OP b b b ( x, y ), 2 2 | OP | x y 河水速度为 a (a,0), 所以合速度为 bx by v a b (a , ), 2 2 2 2 x y x y
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特 征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号 去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个 数学表述。 例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦 的质能方程E=mc2. 这些都是数学模型. 数学建模就是建立数学模型的过程。
数学模型的分类
关键词
正文 参考文献 附录
小结
本节主要介绍数学模型的基本概念、基本方法，并通
过一个示例介绍数学建模的过程，最后简单介绍了数 学建模论文写作的要点。
2 插值与拟合
插值与拟合是两种最常用的数据拟合和函数逼近的方
法
插值与拟合
插值
拟合
插值
已知由g(x) (可能未知或非常复杂)产生的一批离 散数据 (xi, g(xi))，且 x0<x1<…<xn，在[x0, xn]内寻找 一个相对简单的函数f(x)，使其满足 f(xi)=g(xi) ，i=0,1,...,n, 这个过程称为插值，f(x)称为插值函数， g(x)称为被 插函数.
按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、生

态模型…… 按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方 法模型、统计回归模型、数学规划模型…… 按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型 按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模 型和黑箱模型 按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型 按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型
(1.3)
示例1 鸭子过河
当yi<0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.
例如取a=1, b=2, h=10, Δt=0.3, 则求得结果为
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xi 0 0.3000 0.5809 0.8413 1.0801 1.2957 1.4867 1.6513 1.7880 1.8949 1.9701 yi 10 9.4000 8.8003 8.2016 7.6047 7.0107 6.4207 5.8362 5.2588 4.6908 4.1344 i 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 xi 2.0120 2.0188 1.9891 1.9217 1.8160 1.6721 1.4913 1.2759 1.0300 0.7591 0.4702 yi 3.5928 3.0693 2.5680 2.0937 1.6516 1.2479 0.8891 0.5818 0.3329 0.1484 0.0333
1.
典数 型学 案建 例模 分及 析
1 数学建模导言
数学模型及其分类 2. 数学建模例子 3. 数学建模的基本方法和步骤
1.
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
模型
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一
部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。
数学模型
什么是数学模型 ？
计算(1.3)的Matlab代码
clc %清屏 % 鸭子过河问题 a=1; b=2; h=10; dt=0.3; %设置参数 i=1; P=[0,h]; %初始值 while P(i,2)>0 i=i+1; v=[a - b.*P(i-1,1)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2), -b.*P(i-1,2)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2)]; %计算第i步的速度 P(i,:)= P(i-1,:)+ v.*dt; %计算第i步位置 end P %显示结果 plot(P(:,1),P(:,2)) %作图
数学建模的基本方法和步骤
实现对象
假设、抽象、表达 验 证 、 应 用 求 解
数学模型
现实对象的 解
解释、翻译
数学模型的 解
数学建模论文写作
标题
作者信息 摘要
简短精练、高度概括、 准确得体、恰如其分 姓名 使用什么方法 通信地址 解决什么问题 问题重述 得到什么结论 问题分析 模型建立 模型求解 列出你所参考的文献资料 模型应用 较长的程序，不是很重要 模型评价 的推导过程、图表等
示例1 鸭子过河
所求得的鸭子经过的路 线如右图所示。 思考： 此方法所求得的结果为 近似值，为什么？
示例1 鸭子过河
2. 精确解 由(1.1)(1.2)可以得到
bx a 2 2 2 2 x y a x y d x x , by by y dy 2 2 x y x(h) 0.
分段多项式插值
三次样条插值
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
分段多项式插值
记si(x)为s(x)在[xi-1,xi]上的表达式, 且 si(x)=aix3+bix2+cix+di , 这样要求s(x), 就是要求si(x), 也就是求ai, bi, ci, di, 一 共有4n个未知数.
具体使用哪一种要根据实际问题来定. 这样就一共有4n个线性方程，构成一个4n元线性方程组。 求解就可以得到s(x)各段的系数。
最小二乘拟合
已知一批离散数据 (xi, yi), i=0,1,...,n，且 x0<x1<…<xn, 寻 找一个函数f(x), 使
[ f ( xi ) yi ]2
(1.4)
示例1 鸭子过河
(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型. 它是一个 的常微分方程初值问题. 求解它可以得到精确解
a a 1 1 h y b y b x , 0 y h. 2 h h
(1.5)
求解方程(1.4)的Maple代码: assume(h>0); sol:=dsolve({D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)^2+y^2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0},x(y)): simplify(allvalues(sol));
示例1 鸭子过河
进一步讨论
1. 如果b<a, 结果会怎么样? 2. 如果不要求鸭子一定要达到正对岸O, 问鸭子以怎样
示例1 鸭子过河
即
bx dx , dt a 2 2 x y by dy , 2 2 dt x y
x(0) 0, y(0) h.
(1.1)
又由初始条件有
(1.2)
(1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分方程模型。
示例1 鸭子过河
模型求解
1
0.95
0.9
0.85
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
多项式插值
当插值数据点个数为n+1时，需要用一个n次多项式进行 插值。 当n较大时，会出现龙格(Runge)现象。
分段多项式插值
1. 分段线性插值
所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作 线性插值.
2 1.8
1.6
分段多项式插值
称lj(x)为插值基函数. 其的图像为
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
分段多项式插值
2. 三次样条插值
所谓三次样条插值方法就是已知(xi,yi),i=0,1,...,n, 寻求 一个函数s(x) 满足下列条件： a) s(x)∈C2, b) s(x)在每个子区间[xi-1,xi], i=1,2,...,n上是三次多项式, c) s(xi)=yi.
分段多项式插值
由条件c)得
si(xi)=yi, i=0,1,...,n. 由条件a)得 si(xi)= si+1(xi), s’i(xi)= s’i+1(xi), s’’i(xi)= s’’i+1(xi), i=1,2,...,n-1. 这样就有了n+1+3(n-1)=4n-2个方程, 还需要2个才能 唯一确定s(x).