实轴上的特征奇异积分方程

２５ 式 源自文库１ 有 其带有 ＋１ 任意 常数 ；而如果 ＜０则 当且仅 当 （．） 成立时 方程 （．） 如下 的唯一 个 解
（） （ ，（） ｚ ＝ Ｋ ） ＋
７ ｒ ｉ
ｔ 。 （＋ｉ ＋ ｚ（ ， 。 一 ） ）
Ｚ — ｝ｏｏ Ｚ — ÷ 。。
ａ－ｂ 卅
，
（． ２） ２
收 稿 日期 ： ０ ７０ —０ 修 订 日期 ： ０ ９０ —２ ２ ０ －８３ ； ２ ０ — １１
Ｅ— ｉ ｉ Ｓ Ｑｇ ａｌ ｏ ；ｙ ｕ ｍａｌ ｗｆＯ ｍ ｉｃ ｒ ｊ ｄ ＠ｗｈ ． ｕｃ ：ｌ ． ｎ ｕｅ ．ｎ ｄ
令 ［ 寒 ｘ并 入 子Ｋ ： 一疗则 ＝ａ 蒋 ｒ ｇ ， 引 算 ｆ ， ／
（ 而 ， ∈
其中 ｆ∈ ， ｂ ０， 如文献 ［ 中的记号， ｚ ｘ ＝（（） （） （） ａｘ 一６ ） （） １ ］ （） ａｘ ＋６ ） ＝（（） （ ） ， ＋ 一 其 中 Ｘ（） ｚ 也如文 献 ［ 中的记 号 ．通过 计算 可以得 到如下 的定理 ． １ 】 定理 １ 当 ａｏ） （ ≠０时 ：如果 ０方 程 （．） ｏ ， ２１ 一定 可解且其 解可 以表示 为
，
其 （） 寒 中Ｇ ＝ ∞
； 如 ＜， 当 仅 但果 ０ 且 当 则
＿ ｌ２ … ， １， 一 （． ２） ５
和
／ 二
ｄ－ ｘ２ ＝ ）
（． ２６ ）
这 一 个 限制条件 同时 成立才 有解 ．此 时方程 （．） 如下 的唯一解 ２１ 有
（） （ ，（） ｆｏ） ） （ ）． ＝ Ｋ ） 一２ （ｏＣｂ（ ｚ（） ＋ｉ
摘要：该文首先得到 了实轴上的特征奇 异积分方 程的可解性理论．由此 ，得到了实轴上解具一
阶奇异性 的特征奇异积分方程的可解性理论，纠正 了文献 ［］ ８ 中的错误．
关 键 词 ：特 征 奇 异 积分 方 程 ；解 具 一 阶 奇 异 性 ； 实轴 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类 ：５ ０ 中图分类号 ： ７． 文献标 识码 ： ４Ｅ ５ Ｏ１５ ５ Ａ 文章编号 ：０３３９ （０００—０—６ １０—９８２ １）２ ５ ４ ０
是错 误 的．
２ 实轴上的特征奇异积分方程
设 为包含 ｚ 。 ＝。 的实轴，而 Ｚ ＋＝ ｚ Ｉ ＞０ （ 一＝ ｚ Ｉ ｌｍｚ ）ｚ ｌｍＺ＜０） ） 表示上 （ 半 下）
平面 ．考 虑如 下 的积 分方 程
Ｋ（
＿０ （ （ 卅
＿
ｂｘ （ Ａ
丌
ｉ
） ，
（． ２１ ）
数学物理学报
２ １，０ ２：０ － １ ０ ０３ Ａ（） ５ ４ ０ ４
ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔ ／ ｃ ｓ ｐ ａｃ ｐ／ ａ ｗ ｃｎ
实轴 上 的特 征 奇 异 积 分 方程
李 卫峰 杜金 元
（ 中国地质大 学数学与物理学院 武汉 ４ ０ ７ ； ３ ０ ４ 。武汉大 学数学系 武汉 ４ ０ ７ ） ３ ０ ２
（） （ ．（） ｆｏ） ｚｚ（） ＋６（） Ｑ 一 （） ＝ Ｋ ） 一２ （ｏＣｂ（） 厂 ｚ（） １ ， （． ２４ ）
其带 有 个任意 常数 （ 一 （） 下面 的 Ｑ （） （） Ｑ 和 ， 都是 次数 不超过 一１ ，的任意 多 或 ｃ 项式） 常数 而 ＝ ｅｐ一１。 Ｇ（。） ｘ （ ｇ ｏ）
其 中 ｎｂｆ∈ 官 ＝： ） 给 定 的函数 且满 足条 件 ａ （） ２ｚ ，， 宜（ 是 ２ 一ｂ（）≠ ０ 对 任意 的 ∈ Ｘ． ， 我 们 的 问题是 寻 找 （）∈ 疗 满 足方 程 （．） ２１．令 圣（）＝ ｚ ｄ，ｚ Ｘ．引入 记号 ｔ ｇ ＋。） ｌ ＋ ｘ 和 一。） ｌ 一 ， （。 ＝ ｉ ａ ｒ ） （。 ＝ ｉ ａ ｒ （）就有
（． ２７ ）
至 于 ０∞） ０时 ，从方 程 （．） 知必有 ，∞） ． ，∞） （ ＝ ２１ 可 （ ＝０ 当 （ ＝０成立 时可 以很容 易证 明 （．） ２ 式无 条件 成立 ．这 样，如果 ， ０时方 程 （．） ３ ｃ ２１ 一定 可解且解 如下 表达 （） （ ，（） ｚ（） （） ＝ Ｋ ） ＋６（） ， （． ２） ８
基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７１ ７ 、中国地质大学优秀青年教师 资助计划 （ ＵＧ Ｌ ８ ８ 资助 １４ １０ ） Ｃ ＱＮ ０ ２）
数
学 物
理
学 报
Ｖ １０ ０３ ｌ． Ａ
＋ 。） 一∞） ． （。 ＋ （ ＝０
（． ２３ ）
这样 ，如果 （） 是方 程 （．） ２１ 的一个解 则 （） 就是 边值 问题 （． 在 Ｒ 中满 足条 件 （． ２２ ） ２３ ） 的一 个解 ．反 之 ，如果 （） 边值 问题 （． 在 Ｒ 是 ２） ２ ｏ中满足条件 （． 的一 个解 ，可 以很容 ２３ ） 易的证明 ≯ ＝ （） ＋ｘ 一 （） ） 一 是方程 （． 的一个解． ２１ ）
１ 引 言 和 结果
在文献 ［ 中， ｉ 】 带有结点的封闭曲线上特征奇异积分方程得到了完善的讨论．文献 ［ ３ ２ ］ － 则 讨论 了封 闭 曲线上解 具有 一 阶奇 异性 的特 征奇 异积分 方程 ．进 一 步的 ，文 献 ［ ７ 分别 讨 ４ 】 论 了封 闭 曲线和开 口曲线上解 具 有高 阶奇异性 的特 征奇 异积 分方 程． 文 献 ［ 则 讨论 了实 轴上解 具 一阶奇 异性 的特 征奇异 积分 方程 的可解 性理 论 ．但是 ，遗 ８ 】 憾的是文献 ［ ７ 中的方法并不能简单类似到无穷长曲线 实轴．这导致文献 ［ 中的结果 ２ ］ — ８ 】