反函数求解与性质

第5讲：反函数

【复习要求】

1、 理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。

2、 经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用)(x f y =与

)(1

x f

y -=的性质解决一些问题．

【教学重点】

反函数的求法，反函数与原函数的关系．

【知识要点】

1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，如果对于每一个y A ∈值，都有唯一的x D ∈，满足()f x y =，这样得到的x 关于y 的函

数叫做()y f x =的反函数，记作1

()y f x -=，（x A ∈）。

2、求反函数的一般步骤：（1）解出x ；（2）互换x 、y ；（3）写出反函数的定义域（即原函数的值域）。

注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。 3、反函数的性质：

（1）．互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称；即：)()(1

b f

a a f

b -=⇔=

两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y ＝x 上 （2）．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。 （3）．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性．

（4）．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f (x )=a (x =0)它的反函数是f (x )=0(x =a )这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）．函数y=f(x)的定义域是它的反函数1

()y f x -=的值域；函数y ＝f (x )的值域是它的反

函数1

()y f

x -=的定义域．

（6）．若y=f (x )(x ∈A)，1

()y f x -=与(x ∈C)互为反函数，则有

1(())f f x x -=(x C ∈) 1(())f f x x -=(x A ∈)

（7）．x =f (y )与1

()y f

x -=是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来

函数的值域和定义物)，对应法则相同；

（8）．()y f x a =+的反函数1

()f x a -≠+；()f kx b +的反函数为：1()f x b y k

--=；

【典型例题】

类型1：判断一个函数是否存在反函数

例1、“函数()y f x =在定义域上是单调函数”是“函数()y f x =有反函数”的充分不必要条件。 例2、判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）奇函数一定有反函数。（错，反例：三角函数） （2）偶函数一定没有反函数。（错，反例：f(x)=0）

（3）原函数与其反函数交点必在直线y x =上。（错 反例：1y x

=） 例3、判断下列函数是否存在反函数： （1）y x = （无）

（2）[]2

45,1,3y x x x =+-∈ （有）

（3）2,1

4,1x x y x >⎧=⎨

=⎩

（无 ）

例4、已知函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）有反函数1

()y f x -=，则方程()0

f x =有解

x a =，且

()()f x x x D >∈的充要条件是

1()y f x -=满足

)()()0(1

1

A x x x f a f

∈<=--且。

类型2：怎样求简单函数的反函数

例5、求下列函数的反函数：

（1）2

3(1)y x x x =-< （2

）10)1)

x y x -≤<=<≤⎪⎩

)2(4923)(1->+-=-x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-=-)

01()10(1)(22

1

x x x x x f

（3

）30,2y x ⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎭

1

()[3,0])f x x -=∈-

类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用

例6、解决下列有关反函数性质的相关问题： （1）、若函数1

23

y x a y bx =

+=-和互为反函数，则a = 32 ，b = 3 。

（2）、函数21

3

x y x -=-

+的反函数的图象关于点 （-2，-3） 对称。 （3）、已知函数11(10)1

(),()(01)

3x x f x f x x ----<<⎧=-⎨≤<⎩求的值。（32-）

（4）、函数()y g x =的图像与()1f x ax =-的图像关于直线y x =对称，若()y g x =的图像过点(2,4)，则(1)g a -的值为__________； 答案：31

()144

a g =

⇒-= 例7、函数11

(,)1ax y x x R ax a

-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11

(,)1ax y x x R ax a

-=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=

≠-+， ∴1

1()(1)(1)

x

f

x x a x --=

≠-+，

由题知：1

()()f x f x -=，

11(1)1x ax

a x ax

--=++，∴1a =

例8、若(2,1)

既在()f x =的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值． 解：∵(2,1)

既在()f x =

的图象上，又在它反函数图象上，

∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩

，∴2

1

==，∴37m n =-⎧⎨=⎩

类型4：怎样求复合函数的反函数

例9、已知(1)1

x f x x +=

+，求1

(1)f x -+ 【解】11111(1)()()(1)()11x x f x f x f x x f x x x x x

---+=

⇒=⇒=≠⇒=-+- 例10、设23()4

x f x x +=

-，函数()y g x =的图像与函数1

(1)y f x -=+的图像关于直线y x =