qinq-2011-高能环形加速器物理

q
即为电场
r E
的电力线之源，而第二式则表示
r B
的磁力线没有起点也没有终点。第三式即为电磁感应的法拉第定律，而第四式
则为包含了位移电流贡献的安培定理。（1.3）式中的第四式还可以写成
∇×
r H
=
rj(rr, t)
+ ε0
∂Er ∂t
。
（1.5）
这里，
r H
为磁场强度，与磁感应强度
r B
的关系为：
r B
由于粒子在环形加速器中横向振荡的频率一般比纵向振荡频率大许多，因而 可以独立地处理横向和纵向自由度，也即不考虑横向和纵向运动的耦合。从理想 情况来看，两个横向自由度（水平和垂直）也是相互独立的，因而也可以独立处 理，也即不考虑水平和垂直方向运动的耦合。
在直线加速器中，不同能量的粒子走同样的轨道。而在环形加速器中，与理 想粒子不同能量的粒子具有不同的闭合轨道。
在理想的环形加速器中，横向回复力在横向坐标中是线性的。回复力和弯转 力是由磁场而非电场产生的。对于速度较低的非相对论粒子，静电场的作用更为 有效。但对于速度接近光速的粒子，1T 的磁场与 300MV/m 的电场所产生的横向 偏转力是一样的，但前者的场强是典型的磁铁就能达到，而后者则超出了目前的 技术水平。本章我们将主要研究带电粒子在磁场中的运动情况。
⎧x′ = γ (x − vt)
⎪ ⎪⎪
y′
=
y
⎨z′ = z
。
⎪ ⎪⎪⎩t′
=
γ (t
−
v c2
x)
（1.9）
转换方程的结果为时间的膨胀和长度的 Lorentz 压缩。时间膨胀可以从式 （1.9）中的第四式得到，即在“′”观察系中的一个钟，位于 x = vt 处，会显示 出时间的变化 t′ = t/γ。
复力是由不M可ax能we的ll 。方由程可∇ ×知Br，=当0电，流可密得度为 0 时，在两个横向自由度上同时提供回
∂By = ∂Bx ， ∂x ∂y
（2.2）
其中 x，y 分别为水平和垂直方向的坐标。当粒子与设计轨道间有一个小的位移
x 和 y，则磁r 场可写成 B = Bx xˆ + By yˆ
= ⎜⎜⎝⎛ Bx (0,0) +
N
By Bx
S
Bx By By
Bx By Bx
Bx By Bx
By Bx
By
S
Bx N
By
N
Fy
Fy
Fx Fx
S
Fy
Fy
Fx Fx
Fx Fx
Fy
S
Fx Fx
N
Fy Fy
图 2.2 四极磁铁中磁场及粒子受力（带负电荷的粒子垂直于纸面向里运动）
类似于光学透镜，一束平行于磁铁纵向中心轴的带电粒子，经过焦距为 f 的 聚焦四极铁后，会与轴相交在焦点处。斜率的变化则为
−
l ρ
=
− eBy p
l
=
−
⎛ ⎜⎝
eB′l p
⎞ ⎟⎠
x
，
（2.4）
这里，ρ是粒子运动轨迹的曲率半径，B′ ≡ ∂By/∂x 是四极铁的梯度，p 为粒子的动 量，e 为电荷电量。我们对四极铁所做的这种近似，即粒子通过四极铁时横向位 移不发生变化，但角度发生改变，叫做“薄透镜近似”（Thin lens approximation）。 也可以认为薄透镜近似是四极铁的长度为零。
⋅
r dS
⋅
r dS
r ⋅ dl
r ⋅ dl
= = = =
1 ε0
∫
ρdV
0
−∫
Br&
⋅
r dS
μ0
∫
r j
⋅
r dS
+
1 c2
∫
Er&
⋅
r dS
，
其中，l, S 和 V 分别为线元，面积元和体积元。
（1.4）
Maxwell’s 方程积分形式的物理意义要比微分形式更清楚。如，（1.4）式中
的第一式即为高斯定理，表示电荷
铁长度 l 足够短时，可以认为粒子通过四极铁后 x 不发生变化，因而在粒子轨迹 的方向上，粒子感受到的磁场 By = (∂By/∂x)⋅x 是常数。在这种近似中，角度就等 于粒子运动轨迹的斜率，即 x′ ≡ dx/ds（s 为沿理想轨迹的距离）。粒子横向轨迹 的斜率在经过四极铁后的改变为：
x′ =
式），因此产生的力在一个方向上聚焦而在另一个方向上散焦。产生这种聚焦性
质的磁铁称为四极铁。如图 2.2 所示为一个带负电荷的粒子垂直于纸面向里运动
时，该粒子在四极铁中不经过磁铁中心时所受到的力。而当带电粒子经过四极铁
中心时，则不受磁场力。
当一个带电粒子通过四极铁时，若其轨道离磁铁的对称轴距离为 x，当四极
F
D
F
H
图 2.3 水平方向聚焦的交变梯度四极铁排列
F
D
F
粒子轨迹
图 2.4 粒子在实际的 FODO 结构中可能的运动轨迹
仍用薄透镜近似来处理。由于粒子经过薄透镜时位置不变，即 x1 = x2，用“1” 和“2”分别代表粒子经过薄透镜时的入口和出口，则由（2.5）式，可以得到 x′2 = x′1+Δx′ = x′1+ (−1/f ) x1。因此我们可以把粒子在薄透镜中的运动过程，写成矩 阵形式 X2 = MX1，即
L 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
x x
′
⎟⎟⎠⎞1
。
（2.10）
对于一个四极铁组，即一个聚焦四极铁与一个散焦四极铁相距 L 的组合，其 间以直线段 O 分隔，我们记为 FOD，其传输矩阵 M 为
=
μ
0
r H
+
r M
，
其中，
r M
为磁化度。在真空中，有
（1.6）
μ0ε 0
=
1 c2
,
μ0 = 4π ×10−7[H/m],
ε0 = 8.85 ×10−12[F/m]。 （1.7）
在简单导体中，电流密ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正比于电场功率，其比例系数即为导体的电导率，
r j
=
σEr
。
（1.8）
若两个观察系之间的相对速度为 v，坐标轴分别为 x, y, z, t 和 x′, y′, z′, t′。在 t = 0 时，它们的原点相遇，则两个观察系间的传输方程为：
⎜⎜⎝⎛
x x
′
⎟⎟⎠⎞
2
=
⎜⎛1
⎜ ⎜⎝
−
1 f
0 1
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
xx′⎟⎟⎠⎞1
。
（2.9）
M 叫做传输矩阵（Transform matrix），其行列式的值为 1。对于凹透镜，或散焦 四极铁，则 f 的符号相反。用这种方法，我们还可以得到粒子通过长为 L 的直线 段时的矩阵表达式，为
⎜⎜⎝⎛ xx′⎟⎟⎠⎞2 = ⎜⎜⎝⎛10
[3] 动能为 80MeV 和 1.6GeV 的质子的β和γ分别为多少？同样动能的电子呢？
第二章 横向线性运动
现代高能环形加速器通常为水平放置，即理想带电粒子只在水平方向弯转， 而在垂直方向则不发生偏转。一般来说，粒子在环形加速器中的横向运动是关于 设计轨道的受制约的振荡，这种振荡叫做 betatron 振荡或自由振荡。这里，我们 把水平和垂直方向统称为横向，而把粒子运动方向（或运动的切线方向）称为纵 向。我们在本章中，将从带电粒子在环形加速器中的运动方程出发，讨论粒子运 动的横向稳定性，也即粒子具有相同能量，但在横向位置上略有不同。横向运动 的稳定性条件，横向运动的方程及其解，将会在本章进行重点讨论。
∂Bx ∂y
y+
∂Bx ∂x
x ⎟⎟⎠⎞xˆ + ⎜⎜⎝⎛ By (0,0) +
∂By ∂x
x+
∂By ∂y
y ⎟⎟⎠⎞ yˆ 。
（2.3）
这里， xˆ, yˆ 分别为 x，y 方向的单位向量。式（2.3）中的两个分量的最后一项都
在位移方向产生力，因而不是回复力。剩下的项中 x 和 y 的系数是相等的（即（2.2）
dpr
=
r e(E
+
vr
×
r B)
。
dt
（1.1）
这里， pr = γmvr 是带电粒子的动量， vr 是带电粒子的速度，m 为不变质量，γ为
Lorentz 因子，即 c 为光速。
γ≡ 1 ,
1−
v2 c2
v ≡ vr ⋅ vr ，
（1.2）
电磁场满足 Maxwell’s 方程。在真空中，Maxwell’s 方程的表达式（微分方 程）为：
Δx′ = − x 。 f
（2.5）
因此，四极铁的焦距可以表示为
1 = eB′l 。 fp
（2.6）
动量 p 与电荷 e 的比值，通常叫做磁刚度（Magnetic rigidity），记做(Bρ)，(Bρ) =p/e。 后面我们将用(Bρ)这个简单的符号来代表磁刚度。在 MKS 单位制中，工程上常 写为
⎪⎧∇
⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨ ⎪∇
⎪
⋅
r E
=
1
r ε0
⋅B = 0
×
r E
=
−
ρ ( rr,
∂Br ∂t
t
)
⎪ ⎪⎩∇
×
r B
=
μ0
rj (rr,
t)
+
1 c2
∂Er ∂t
，
式中，ρ和
r j
分别为电荷与电流密度。Maxwell’s
方程的积分形式为：
（1.3）
⎪⎧∫
⎪
⎪⎪∫
⎨
⎪⎪∫ ⎪⎪⎩∫
r E
r B r E r B
高能环形加速器物理
秦庆
中国科学院高能物理研究所 加速器中心
第一章引言
§1.1 高能加速器发展历史及未来展望
（略）
§1.2 必备知识
z 经典力学，电磁场理论，电动力学
z 狭义相对论
z Hamilton 方程，矩阵
一个电荷为
e
的带电粒子，在电场强度和磁感应强度分别为
r E
和
r B
的电磁场
中运动，则其运动方程为：
E// = E/′/ ,
E⊥′
=
λ′ ,
2πε 0 r ′
E⊥ = γE⊥′ ,
B⊥
=
γE⊥′
v c2
。
（1.10）
Exercises
[1] 分别计算动能为 10 毫焦耳的质子和电子的运动速度，并与光速进行比较。 正常人一天最低需要 1000 卡的热量，相当于多少 eV 的电子及质子？
[2] 在环形加速器中，束流强度通常用以安培或毫安为单位的流强（电流）来表 示。若一个环形加速器的周长为 3016m，被加速的电子能量达到 8GeV，问 200mA 的束流中包含多少个电子？
( Bρ
)[T
⋅
m]
=
3.3356
p[GeV/c]
=
⎧ E[GeV] ⎪ ⎨ 0.29979
,
⎪⎩3.1297βγ ,
因此，四极铁的焦距也可以写成
电子 质子。
（2.7）
1 f
=
1 Bρ
B′l
。
（2.8）
由于四极铁在一个方向上聚焦，而在另一个方向上散焦，显然，一个加速器 不能只由在一个平面上聚焦的磁铁组成，而必须在两个平面上都聚焦。从光学中 可知，相同强度的凸透镜和凹透镜的组合可以产生聚焦的效果，而四极铁类似于 光学透镜，因此，可以将聚焦（F）和散焦（D）的四极铁交替排列，总有粒子 可能在经过散焦四极铁时通过其中心而不被散焦，因而总能得到在最后的四极铁 出口处，带电粒子在两个平面上都聚焦的结果。如图 2.3 所示为水平方向聚焦。 图 2.4 则给出了在一个 FODO 结构中，带电粒子可能的运动轨迹。这里 O 代表 直线段。
§2.1.1 弱聚焦
如图 2.1 所示为弱聚焦环形加速器的横截面。一个环形磁铁，上下磁极不平 行，横截面为椭圆形的真空室固定在磁铁的两极间，带电粒子则在真空室中做环 形运动。从受力分析上可以看到，在中心平面以上的粒子将受到一个向下的力， 而中心平面以下的粒子将受到一个向上的力。偏离中心平面的粒子因而会在垂直 方向发生“聚焦”。然而在水平面上，磁场的垂直分量随半径的增加而减小，因 为磁力线随半径的增大变得越来越稀疏。因此，垂直聚焦的获得是以径向聚焦的 减小为代价的。由此可以看出，如果要在两个横向自由度上同时获得聚焦，其效
果是有限的。
图 2.1 弱聚焦环形加速器横截面示意图
若中心平面上的磁场垂直分量表示为
By
=
B0 rn
，
（2.1）
那么，如果 n = 0，就可以得到一个均匀的场，且没有垂直方向的聚焦。如果 n >
1，则磁场不能提供足够的向心力来保持粒子在半径为常数的环形轨道上运动。
因此，稳定性要求 n 限制在 0 < n < 1。
这种形式的聚焦称为弱聚焦，它的缺点是随着能量的增加，也即轨道周长的 增加，对于一定的横向冲量或角偏差，所需的真空室孔径（物理孔径）也就相应 增加。由于是弱聚焦，最大的径向位移正比于机器的半径，因此，同步加速器的 磁铁将非常大，而且价格昂贵，因而最终影响了同步加速器的发展。
§2.1.2 强聚焦
在上述的弱聚焦加速器中，粒子离开设计轨道而受到的回复力是有限的，而 我们则希望这种回复力越大越好。
§2.1 横向振荡的稳定性
均匀磁场是环形加速器中最基本的磁场，对带电粒子可以产生偏转，也可以 产生聚焦。考虑一个带电粒子，沿环形轨道在均匀磁场中运动，设粒子受到一个 角向的冲量作用，其方向与磁场方向垂直，于是，受到角向冲量后的粒子轨道仍 是一个圆周，且与原来的环形轨道半径相同，但中心不同。因此，可以认为第二 个轨道是粒子关于第一个轨道做稳定的振荡。
长度的 Lorentz 压缩则可由（1.9）式中的第一式得到。长度为 L′的物体沿 x′ 轴在“′”观察系中是静止的，且一端在原点。当 t = 0 时，有 L′=γL，即在非“′” 的观察系中物体的长度为 L=L′/γ。
电磁场的转换可由上述转换得到。将静止的坐标中束流的场与实验室坐标系 相联系，若在静止坐标系，即“′”坐标系中，只有电场，则有