离散时间信号与离散时间系统(2)-数字信号处理

➢ 因果性：
一个LSI系统，如果它在任意时刻的输出只决定 与现在时刻和过去的输入，x(n)，x(n-1)，x(n2)…而和将来的输入无关，那么我们说系统是 因果（cousal）系统。
1.5 离散时间系统的基本概念
➢ 稳定性：
一个信号x(n)，如果存在一个实数R，使的对 所有的n都满足∣x(n)∣≤R，那么我们称x(n)是 有界的，对一个LSI系统，若输入x(n)是有界的， 输出y(n)也有界，那么该系统是稳定的。
如若将上例中的x(n)换成δ(n)，有:
h(n) =b(n)δ(n)+ b(1)δ(n-1)+b(2)δ(n-2)
所以， h(0)=b(0)，h(1)=b(1)，h(2)=b(2)
且当n＜2和n＞2时h(n)≡0
1.5 离散时间系统的基本概念
由以上两例可以看出，三点平均器的单位抽 样响应仅在n=0，1，2时有值，即为有限长。这 一类系统称为“有限冲激响应”系统，简称为 FIR系统。
k
y(2)=x(k)h(2 k)=2+3=5
k
k
y(3)=x(k)h(3 k) =7
k
y(4)=x(k)h(4 k) =4
k
当n>5时,y(n)≡0 ， 共有L+M-1个值。
1.6 LSI系统的输入输出关系
简单方法： x(n)={1, 2, 3, 4 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 } L=4 2L-1=7 ，把每个向量补齐7个值。 x(n)={ 1, 2, 3, 4 , 0, 0, 0 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 , 0, 0 ,0 } x(n)逆时针排列，h(n)顺时针排列如下图1。对 应位置两数相乘，然后相加，即可求出y(0)=1。
1.6 LSI系统的输入输出关系
线性卷积
y(n)=

x(k)h(n

k)
k

y(n)=x (n)*h(n)=x(k)h(n =k)
k
例：令h(n)={h(0)，h(1)}={1，1}，

h(k)x(n k)
k
x(n)={x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={1，2，3，4}
1.6 LSI系统的输入输出关系
0
0
0 1
0
3
4
2
外环数据逆 时
0
3
4
2
0
1 1 针旋转一格
0
00
0
11
0
00
0 图1 1
0
0
图2
然后，将外环数据逆时针旋转一格，得图2，
求出y(1)=1*1+2*1=3。
依 次 将 7 结 果 都 求 出 ， 得 y(2)=5 ， y(3)=7 ， y(4)=4，y(5)=0， y(6)=0，y(7)=0
1.5 离散时间系统的基本概念
一个离散系统，可以抽象为一种变换，或是一 种映 射 ，即 把 输入 序 列 x(n) 变 换为 输 出序 列 y(n)：
y(n) =T[x(n)]
式中T代表变换，这样，一个离散时间系统，
既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表
达式。 x(n) T[x(n)]
y(n)
1.5 离散时间系统的基本概念
x(k)
4
h(k)
h(-k)
试求x(n)和h(n)的线性卷积。
3
2
1
-1 0 1 2 k
-1 0 1 2 k
-1 0 1 2 3 k
1.6 LSI系统的输入输出关系

y(n)= x(k)h(n k)
k

y(0)=x(k)h(k) =1

y(1)=x(k)h(1 k)=2+1=3
➢ 线性：
设一个离散系统对x1(n)的响应是y1(n)，对x2(n) 的响应是y2(n)即
y1(n)=T[x1(n)]
y2(n)=T[x2(n)] 若 该 系 统 对 αx1(n)+βx2(n) 的 响 应 是 αy1(n)+βy2(n)，那么我们说该系统是线性的。
1.5 离散时间系统的基本概念
➢ 移不变性：
对于这样一个系统，y(n)=ay(n-1)+x(n)，由于 包含了有输出到输入的反馈，因此其抽样响应 为无限长，我们称这一类系统为“无限冲击响 应”（infinite impulse response,I系统的基本概念
➢ 下面是有关离散系统的几个定义：
b(2)
∑
y(n)
b(1)
b(0)
1.5 离散时间系统的基本概念
若令输入信号x(n)=δ(n)，那么，这时的输出y(n) 是由单位抽样信号δ(n)激励该系统所产生的响应。 因此，我们称这时的y (n) 为系统的单位抽样响 应，并记为h(n)，h(n)反映了系统的固有特性， 它是离散系统的一个重要参数。
1.5 离散时间系统的基本概念
δ(n)
h(n)
n
n
δ(n-3)
h(n-3)
3
n
3
n
由前述单位抽样响应的定义，h(n)=T[δ(n)]，
对移不变系统，则必有h(n-k)=T[δ(n-k)]。因此，
从h(n)的行为即可判断所研究的系统是否具有移
不变性。
1.5 离散时间系统的基本概念
*同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为 线性移不变（linear shift invariant, LSI）离散 时间系统，简称LSI系统。
2
➢ 例：已知系统y(n)= b(k)x(n k)，式中b(0)，b(1)， k0 b(2) 为 常 数 ， 这 是 一 个 三 点 加 权 平 均 器 ， 若
b(0)=b(1)=b(2)=1/3，那么该系统是一个三点平均
器，它的信号流图为：
x(n)
单位 x(n-1) 单位
延迟
延迟
x(n-2)
1.7 确定性信号的相关函数
➢ 1.7.1 相关函数的定义
rxy(m)=为信号x(n)和y(n)的互相关函数，该式 表示rxy(m)在时刻m时的值，等于将x(n)保持不动 而y(n)左移m个抽样周期后两个序列对应相乘再 相加的结果。
上式中的rxyy((mn))x=(n不能m)写成 xr(ynx()my(n)， m这) 是因为
设一个离散系统对x(n)的响应是y (n)，如果 将x(n)延迟了k个抽样周期，输出y(n)也相应的 延迟了k个抽样周期，那么我们说该系统具有 移不变性，即
y (n) =T[x(n)] y (n-k)=T[x(n-k)] 该性质的含义还可以直观地解释为：对给 定的输入，系统的输出和输入的施加时间无关， 即不论何时加上输入，只要输入信号一样，输 出信号的形态就保持不变。