青岛版九上数学3.1圆的对称性(1)
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九年级数学(上) 第三章 对圆的进一步认识
圆对称性(1) 3.1 垂径定理
zxxk
赵州桥视频.flv
这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普 通的石匠李春所建，距今已有1400多年的历 史。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪 水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次 地震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在 洨河上。
这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流 水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减 轻了桥身的重量，节省了石料。直到19世纪中叶， 才在欧洲国家出现，比赵州桥晚1200多年。赵州桥 表现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史 遗产。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
●
O
银行标志
预习反馈2 垂径 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧.
• AB是⊙O的一条弦.
C
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
B
A
M└
●
发现图中有:
①AM=BM,
可推得
O
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ②AC=BC, ⌒
D
⌒ ③AD=BD.
探究垂径定理结论的得出方法
C
（1）利用折叠重合
（2）利用全等
·
A
O
M
D
（3）利用等腰三角形的 B 三线合一性质
探究垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
探究垂径定理
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图 ∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
(M是AB的中点)
D
⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ （C、D是弧的中点） AD=BD.
垂 直 直 径
C
半 径
过圆心的直线
O A D E B
小试牛刀
如图,⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M， 添加一个条件：____________，就可得到点M 是AB的中点.
D O M B C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
E
E
A
E
C
E
O
B
⑸
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
变式1：如图所示，直径为10cm的 圆中，圆心到弦AB的距离4cm． 求弦AB的长．
学科网
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM 2 AB 1 ∵ OA 10 5，OM＝4， 2
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
变式2、 如图，已知在⊙O中，弦AB
的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3 厘米，求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
8
E
2 ．半径（r)、半弦、圆心 到弦的距离(d)组成的直角三 角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：
A
. O
B
弦长AB 2 r d .
2 2
O
．
C
d
A
r B
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解决求赵州桥拱半径的问题 解： 在图中 AB=37.4，CD=7.2， ∵1 OD⊥AB 1
AD
OD=OC－CD=R－7.2
2
AB
2
37.4 18.7,
在Rt△OAD中， OA2=AD2+OD2
即R 2 18.72 (R - 7.2)2
解得：R≈27.9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
变式：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧
CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径。 解:连接OC C
E F
●
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m.
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m). 2 2
根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R 2 300 2 R 90 .
2
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
例3、 已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
O
A C
.
ＡＣ与ＢＤ相等
E
D
B
证明：过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ， 则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
变式 ：如图，已知AB为 ⊙O 的直径，AC为弦，OD⊥AC， 交AC于点D，BC=6cm，求 OD的长。
C
D A O
B
新建 (6).doc
如图，过已知P为⊙O内的一点，你能用三角 尺画⊙O 的一条弦AB,使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。
O
C
A
BC就是所要求的弦
B
１．本节课主要内容：
（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用： 计算和证明．
M A E
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
3、小结解题的主要方法：
（1） 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用 垂径定理创造条件。
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角
形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长 AB 2 r 2 d 2 .
当堂达标.doc
结束寄语
下课了!
•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
组卷网
圆对称性(1) 3.1 垂径定理
zxxk
赵州桥视频.flv
这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普 通的石匠李春所建，距今已有1400多年的历 史。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪 水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次 地震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在 洨河上。
这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流 水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减 轻了桥身的重量，节省了石料。直到19世纪中叶， 才在欧洲国家出现，比赵州桥晚1200多年。赵州桥 表现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史 遗产。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
●
O
银行标志
预习反馈2 垂径 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧.
• AB是⊙O的一条弦.
C
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
B
A
M└
●
发现图中有:
①AM=BM,
可推得
O
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ②AC=BC, ⌒
D
⌒ ③AD=BD.
探究垂径定理结论的得出方法
C
（1）利用折叠重合
（2）利用全等
·
A
O
M
D
（3）利用等腰三角形的 B 三线合一性质
探究垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
探究垂径定理
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图 ∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
(M是AB的中点)
D
⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ （C、D是弧的中点） AD=BD.
垂 直 直 径
C
半 径
过圆心的直线
O A D E B
小试牛刀
如图,⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M， 添加一个条件：____________，就可得到点M 是AB的中点.
D O M B C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
E
E
A
E
C
E
O
B
⑸
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
变式1：如图所示，直径为10cm的 圆中，圆心到弦AB的距离4cm． 求弦AB的长．
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解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM 2 AB 1 ∵ OA 10 5，OM＝4， 2
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
变式2、 如图，已知在⊙O中，弦AB
的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3 厘米，求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
8
E
2 ．半径（r)、半弦、圆心 到弦的距离(d)组成的直角三 角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：
A
. O
B
弦长AB 2 r d .
2 2
O
．
C
d
A
r B
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解决求赵州桥拱半径的问题 解： 在图中 AB=37.4，CD=7.2， ∵1 OD⊥AB 1
AD
OD=OC－CD=R－7.2
2
AB
2
37.4 18.7,
在Rt△OAD中， OA2=AD2+OD2
即R 2 18.72 (R - 7.2)2
解得：R≈27.9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
变式：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧
CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径。 解:连接OC C
E F
●
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m.
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m). 2 2
根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R 2 300 2 R 90 .
2
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
例3、 已知：如图，在以O
为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
O
A C
.
ＡＣ与ＢＤ相等
E
D
B
证明：过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ， 则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
变式 ：如图，已知AB为 ⊙O 的直径，AC为弦，OD⊥AC， 交AC于点D，BC=6cm，求 OD的长。
C
D A O
B
新建 (6).doc
如图，过已知P为⊙O内的一点，你能用三角 尺画⊙O 的一条弦AB,使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。
O
C
A
BC就是所要求的弦
B
１．本节课主要内容：
（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用： 计算和证明．
M A E
. O
B A C
C A O E
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.O
N
D B
D
B
3、小结解题的主要方法：
（1） 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用 垂径定理创造条件。
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角
形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长 AB 2 r 2 d 2 .
当堂达标.doc
结束寄语
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•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
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