一类算子多项式的性质及应用

于方阵 Ａ的 ，次多项式矩 阵 ，规定 多项式算子 Ｄ作用于 ｆ Ａ ，使得 Ｄ Ａ） ａｌ １ ａ Ａ ｚ （） ｆ（ ＝ ｏ ＋ａ Ａ＋ ２ ＋…＋
ａｎ ｌ
＿
Ａ ＋ 口Ａ ，称 Ｄ （ ） ｆ Ａ 的算子多项式矩阵． ｆＡ 为 （ ）
注 １ 定义 ｌ２中，ａ ≠Ｏ 一 。 确保 ｆｘ是ｎ （） 次多项式，而ａ ０ ≠ 确保ｆｘ无零根，因此也就确保算子多 （） 项式 Ｂ （） ｙｘ 是存在的 ，而且 Ｄ （） ｆｘ 也是无零根的 次多项式 ；
＋ 以Ｘ ，
显然 ，Ｄ （） ｆ ｘ 的次数是相等的，即 ｄｇ （） ｄｇ ｆ ｘ ＝ｎ，且算子多项式 Ｄ （） ｙｘ 与 （） ｅ ｆ ｘ ＝ ｅ Ｄ （） ｆ ｘ 的项 ａｘ与 ｉ
定义 ２ 对于任意 ｋ 阶方阵 Ａ，称 ｆ Ａ ＝ ｏ ＋ ｌ ＋ ２ ＋ ＋ ｎＡ＋ （ ｏ （ ） ａＡ ａＡ ｎＡ … ａ－ 口 Ｊ ａａ ≠０） １ 为关
第３ ２卷 第 １ 期
２ ２拄 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃｏ ｅｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｎ ｏＳ Ｔ Ｈ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｙ
Ｖｏ． ２ Ｎｏ １ １３ ．
１ 月
Ｊ ｎ ２ １ ａ． ０２
ａａ ０，规定多项式算子 Ｄ作用于 ， ， ｏ ≠ （） 记为 （） 使得 （ ＋ １＋ ２ ＋ 口 ， 曲＝ 口ｘ ａ …＋ 称多项式 Ｄ （） ｆｘ 为多项式 ｆ ｘ 的算子多项式． （）
多项式 ｆ ｘ 的项 ａ 彼此对应 （＝ ， ， ， ｎ ． （） ｉ ｘ ｉ ０ １ ２ …， ）
Ｋｅ ｒｓ ｏ ｅａｏ ； ｐ ｌｎ ｍｉｌ Ｅ ｓ ｎ ｔｉ ｔｓ； ｎ ｍｂ ｒ ｅｄ； ｅｇ ｎ ａｕ ｙｗｏｄ ： ｐ ｒｔｒ ｏｙ ｏ ａ ； ｉｅ ｓｅｎＳ ｅ ｔ ｕ ｅ ｌ ｉ ｆ ｉｅ ｖ ｅ ｌ
１ 引言及预备知识
本文定义了一种多项式算子 Ｄ ，给出其若于ｌ质及应用 ，并且将算子理论推广应用到矩阵理论中， 生 进 而得到关于矩阵多项式特征值的一些结论 ，改进 了有理数域上判断多项式不可约的 Ｅｓ ｓ ｉ 判别法． ｉ ｎｔｎ ｅ ｅ 定义 １ 对实系数的无零根的 ｎ（ ≥ ） ｎ １ 次多项式 ｆｘ ＝ Ｏ （） ａＸ ＋ ＋ ２ ＋ ａｘ …＋ ＋ 口 ａ ，其中：
３ ８
高 师 理 科 学 刊
第 ３ 卷 ２
注 ３ 对于任意 自然数 ，有 Ａ ． Ａ ＝ｆ Ａ Ａｊ （ 一） （ ） ｊ （ ） （ ） ；ＡＪ Ａ ＝ｆ Ａ Ａ 厂 ｆ
２ 主要结果及证 明
ｔ ｔｉ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｇ ｔｓ ｍｅ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓ ａ ｏ ｔｔ ｅ ｅｇ ｎ ａ ｕ ｆｍａ ｒ ｏｙ ｏ ａ ， ａ ｄ Ｅ ｓ ｎ ｔ ｉ ｔ ｓ ｗｅ ｅ ｏ ｍｅｒｘ ｔ ｅ ｒ ｎ ｏ ｏ ｏ ｃ ｕ ｉｎ ｂ ｕ ｈ ｉｅ ｖ ｌ ｅ ｏ ｔ ｘ ｐ ｌｎ ｍｉ ｉ ｌ ｎ ｉｅ ｓｅ ｎＳ ｅ ｔ ｒ ｉ ｒ ｖ ｄｗｉ ｓ ｅｐ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｉ ｌ ． ｈ ｔｈ
Ｔ ｅｃ ａ ａ ｔｒ ｎ ｐ ｌ ａ ｉｎｏ ｎｃａ ｓｏ ｐ ｒ ｔｒ ｐ ｌｎ ｍｉｌ ｈ ｈ ｒ ｃｅ ｓａ ｄａ ｐ ｉ ｔ ｆ ｌ ｓ ｆ ｅ ａｏ － ｏｙ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｏ
Ｋ Ｎ ｉｇｈｉ Ａ ｈ－ｕ Ｏ ＧＱｎ —ａ，Ｄ Ｉ ｉｇｏ Ｚ
（ ．ｃ ｏｌｆ ｃ ｎｅ ｏｈａｔ ｎｖｒｉ ，Ｓｅｙｎ １０４ ｈｎ； １ＳｈｏｏＳｉ ｃ ，Ｎ ｒ ｅｓＵ ｉ ｓｙ ｈｎａｇ１００ ，Ｃ ｉ ｅ ｔ ｅ ｔ ａ ２Ｄ ｐｒ ｅｔｆ ａｉ ｏｒｅ，Ｌａｎｎ ＩｓｔｅｏＳｉ ｃ ａｄ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｂ ｎｉ １０ ２ ｈｎ ） ． ｅａｔ ｎｏ Ｂｓ ｕｓｓ ｉ ｉｇｎｔｕ ｆ ｅ ｅ ｎ Ｔ ｃｎｌ ｙ ｅｘ １７ ２ ，Ｃ ｉａ ｍ ｃＣ ｏ ｉｔ ｃ ｎ ｏ
注２ ｆｘ ＝ ｆｘ… ≠ （（ ） Ｄ（ ） Ｄ（ｌ ＤｆＸ ） ０ ） ｏ；
收 稿 日期 ：２ １－９ １ ０ １０ — ５
作者简介：孔庆海 （ ９４ ，男 ，辽宁庄河人 ，副教授 ，硕士，从事实验设计、最优混料设计研究．Ｅ ｍ ｉ ｈｎａｇ ０＠ ｉ ＿ｍ １６ －） － ａ ：ｓｅｙｎｌ ｋ ｓ ａｃ ｌ ａ ｎ ０
文章编号 ：１０ — ８ １ ２ １ ） １０ ３—４ ０７ ９ ３ （ ０２ ０— ０ ７ ０
一
类算子多项式的性质及应用
孔 庆海 ，戴 志国
（． １ 东北大学 理学院，辽宁 沈阳 １００ ；２ １０４ ．辽宁科技学院 基础部 ，辽宁 本溪 ｌ７ ２ ） １０ ２
摘要 ：定义了一种多项式算子 Ｄ ，给出其若干性质及应 用， 并且将算子理论推广应用到矩阵理论 中 ，进 而得到 一些 关于矩 阵 多项 式特 征值 的结论 ．改进 了有理数域 上判断 多项式不可约 的
Ａｂ ｔ ｃ ：Ｓ ｍｅｃ ａ ａｔｒ ｎ ｐ ｌ ａｉｎ ｒ ｉｅ ｙｄ ｆ ｉｇｐ ｌｎ ｍｉｌ ｐ ｒｔｒ ，ｓ ｅ ｉ ｌ ａ ｘｅ ｄ ｄ ｓｒ ｔ ｏ ｈ ｒｃｅｓ ｄａ ｐｉ ｔ ｓ ａ ａ ｃ ｏ ｗｅｅｇｖ ｎｂ ｅ ｎｎ ｏｙ ｏ ａ ｅａｏ ｉ ｏ Ｄ ｐ ｃａ ｙｉｗ ｓｅ ｔｎ ｅ ｌ ｔ
Ｅｓｎｔｉ 别 法． ｉ ｓ ｎ判 ｅ ｅ
关键词：算子 ；多项式 ；Ｅｓｎｔ ｎ ｉ ｓ ｉ 判别法；数域 ；特征值 ｅ ｅ
中图分类 号 ：Ｏ１１ １ ５． ２ 文 献标识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６／ｉ ｎ１０ — ８１ ０ ２ １ １ Ｏ：１． ９ ．ｓ． ７ ９ ３． １． ． ２ ９ ｊｓ ０ ２ ００