悬链线方程的推导过程

悬链线方程的推导过程

悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：

y = a*cosh(x/a)

其中 a 是一个常数。

最低点处受水平向左的拉力H ，右悬

挂点处受一个斜向上的拉力T ，设T 和水

平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,

受力分析有：

Tsin Tcos θθ=mg,=H

并且对于绳上任意一点有

tan θ=dy/dx=mg/H ，ρmg=s

其中s 是右半段绳子的长度, ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程 ρdy/dx=s/H 利用弧长公式

ds=(1+dy^2/dx^2)dx

所以有，实际上就是弧长积分公式：

⎰s=1+dy^2/dx^2dx

所以把s 带入微分方程得

ρ⎰dy/dx=1+dy^2/dx^2dx/H （1）

对于(1)设p =dy/dx 并做微分处理可得：

ρ=dp p'=

/H 1+p^2dx

（2） 对（2）分离常量求积分 dp ρ=⎰⎰1

/Hdx 1+p^2 （3）

得：ln()p x ρ+=1+p^2/H+C

边界条件：x=0，dy/dx=0，代入后可得C 0=，整理后为：

ln()p x ρ+=1+p^2/H （4）

由

))p p x

ρ==-=/H （5） 即得x x ρρ⎡⎤⎣⎦p=e^(/H)-e^(-/H)/2=dy/dx （6）

x x ρρρ⎡⎤⎣⎦y=p=H/2e^(/H)+e^(-/H) （7）

如果令ρa=H/的话，则有

/(2)cosh(/)x a x a a a x a =⎡⎤⎣⎦y=p=e^(/)+e^(-/) （8） 即为双曲函数。