齿轮弯曲强度分析

此二式的适用范围为：1 ≦qs ﹤8 对于αn ≠ 20 °的齿轮，可按此两式近似的确定Ys、 Ysa值。上面两式中：
L
s Fn h Байду номын сангаасe
L
s Fn h Fa
qs
s Fn 2F
对于磨削齿轮，存在磨削台阶时， Ys、Ysa值将增大
Y sk Y s 1 .3 1 .3 0 .6 t
1.齿根应力状态 2.齿根应力计算公式 3.许用齿根应力σFP 4.齿根弯曲强度计算
当载荷作用于齿轮时，由于齿轮轮体刚度较大，可
将轮齿看作一个悬臂梁，在齿根处引起最大应力。 要计算齿根最大应力的数值，必须首先要确定危险 截面的形状、位置、以及啮合时的啮合位置。 1.危险截面的形状 目前绝大多数的计算方法都是采用平截面法，即危 险截面的形状是与齿轮对称中线相垂直的平面，如 图所示。但从实际情况来看，其断裂面是一个折截 面。这是因为主应力在折截面上按双曲面分布。用 平截面法计算，结果偏于保守。但用折截面法计算， 过程偏于复杂。因此在计算应力的公式、确定材料
2

Ft bm n


Ft bm n
其中 Y F
h Fe 6 m n s Fn m n
cos Fen cos n
2
称为齿形系数
但是，齿根危险截面上除了弯曲应力外，还有压应力 和剪应力，以及齿根过渡圆角引起的应力集中。考虑 这些因素对齿根应力的影响，用一个应力修正系数Ys 进行修正，得：
Y s 1 . 2 0 . 13 L q s
1 2 .3 1 . 21 L
2)对αn=20 °的齿轮，载荷作用于齿顶时
1 2 .3 1 . 21 L
Y sa 1 . 2 0 . 13 L a q s
2 2

Ft bm n


Ft bm n
齿根弯曲应力为：
wa
F bn cos Fan h Fa bs h Fa 6 m n s Fn m n Y Fa
2 Fn
6 cos Fan
2

Ft bm n

cos n 其中 Y Fa 2 s Fn
顶时的齿根局部应力转换为载荷Fbn作用于单对 齿啮合区上界点的齿根局部应力。因此，可以 把Y ε理解为后者与前者的比值。 当啮合点沿啮合线移动时，假设齿根局部应力 是线性的变化，可知：
Fe Fa max
Pbt Pbt 1

1
Y

Pbt为端面基节
但是齿根局部应力在啮合点沿啮合线移动时，并非 线性的变化，故需对Y ε做进一步修正：
极限应力的实验数据和判据，都是采用平截面法。
2.危险截面的位置 确定危险截面位置的方法主要有一下几种 （1）内切抛物线法 （2）中点法 （3）双模数法 （4）30°切线法 （5）力点切线法
设作用有Fbn
其横向应力FbncosαF 引起弯曲应力σw 和τ
w
F bn cos F h F bs 6
Y 0 . 25 0 . 75

（4）螺旋角系数Y β Y β数值的确定，是根据齿轮实验和使用经验并 参照一些学者的理论研究成果综合而得： 当0 ≤ β ≤30 °时
Y 1 120

当β ＞30 °时
式中β为分度圆螺旋角
Y 1 0 . 25 0 . 75

Fo

Ft bm n
YF Ys
（2）以全部载荷作用于齿顶为基础的齿根应力计算 公式 齿根弯曲应力为：
wa
F bn cos Fan h Fa bs Fn 6 h Fa 6 m n s Fn m n Y Fa cos Fan cos n
2
Y Fa
确定。
对于外齿轮各参数的定义见下图
对于内齿轮： 与计算YF时一样，取同样的替代齿条，近似计算YFa
（2）应力修正系数Ys、Ysa 可以把应力修正系数看作是齿根局部最大应力和名 义弯曲应力的比值，即
Ys
Fe we Fa wa

Fe
Ft bm n YF
Y sa
k
Y sak Y sa
1 .3 1 .3 0 .6 t
k
适用范围为
0
t
k
1 .4
式中
t——磨削台阶的最大深度（mm）;
ρk——磨削台阶的圆角半径（mm）。
对于内齿轮，不同齿廓参数的Ysa可通过查表获得。 （3）重合度系数Y ε 定义：重合度系数Y ε ，是把载荷Fbn作用于齿
啮合区上界点的齿根应力，即得直齿轮的齿根 基本应力： Ft Fo Y Fa Y sa Y bm n
Y 称为重合度系数
2.齿根应力公式中各项系数的确定 （1）齿形系数YF和Yfa 齿形系数是在推导齿形应力计算式时，为了使计算 式简明，把齿廓集合参数分离出来而形成的无量纲 参数。 1）齿形系数YF YF 是载荷作用在单对齿啮合区上界点处的齿形系数 其值由 h Fe 6 m cos Fen n YF 2 s Fn m cos n n 确定
其中αn、mn为法面分度圆压力角和法面模数。
此式适用于标准的和变位的直齿轮及斜齿轮。
2）齿形系数Yfa Yfa是载荷作用于齿顶时的齿形系数，它不同于YF, 与相配对齿轮的齿数无关，仅与自身轮廓参数有 关，与齿廓的大小（模数mn ）无关。 Yfa 的值由式
h Fa 6 m n s Fn m n cos Fan cos n

b sin
εβ为轴向重合度，其值为
m n

（1）按载荷作用在单对齿啮合区上界点时齿根应 力计算公式
如图可得齿根弯曲应力为
wc
M W

F bn cos Fen h Fe bs
2 Fn
6 h Fe 6 m n s Fn m n YF cos Fen cos n
也称为齿形系数
h Fa 6 m n
cos Fan

Ft bm n
m cos n n
同样，其需要修正系数Ysa进行修正，得到载荷作用 于齿顶时的齿根应力：

Fa

Ft bm n
Y Fa Y sa
再用系数Y ε将此应力换算为载荷作用于单对齿
2 F

F bn cos F bs F
径向分力Fbnsin αF引起压应力σy
y
F ba sin F bs F
按照第三强度理论，其相当应力为：

( w y ) ( )
2
2
μ——剪应力系数，根据尼曼光弹实验μ=2.5
（1）只计算弯曲应力一项σw （2）只计算弯曲应力和压应力两项，即σ= σw- σy （3）综合考虑弯曲、压缩、剪切等三项应力，即

Fa
Ft bm n Y sa
式中σ
Fe、σFa分别为静载荷作用于单对齿啮合区
上界点和齿顶时的直齿轮齿根危险截面上的局 部最大应力。
σ we、 σwa分别为静载荷作用于单对齿啮合区上界 点和齿顶时的齿根名义弯曲应力。 对大量齿形用有限元、积分方程法以及用应变仪 实测法进行反复计算和实测得到的齿根最大局部 应力，与计算危险截面上的简单弯曲名义应力对 比，得到以下关系式 当齿根不存在磨削台阶时： 1）对αn=20 °的齿轮，载荷作用在单对齿啮合区 上界点时：

( w y ) ( )
2
2
我们可以从尼曼光弹试验中得到载荷作用与不同 位置时齿根应力σF的变化情况，如图可以看出， 当载荷作用点越靠近齿根，压应力和剪应力所占 的比重越大。
这里采用30°切线法确定齿根危险截面位置，
取危险截面为平截面，按全部载荷作用于单对 齿啮合区上界点、只取弯曲应力一项、按受拉 侧的最大应力建立起名义弯曲应力计算公式， 再用相应的系数进行修正，得到计算齿根应力 的公式。 1.齿根应力σF的计算公式推导