Copula函数与核估计理论相结合分析风电场出力相关性的一种新方法

Copula函数与核估计理论相结合分析风电场出力相关性的一

种新方法

徐玉琴;陈坤;李俊卿;聂晹

【摘要】大型风电场出力的准确预测对风电场接入电网的安全性与经济性有重要意义.针对邻近风电场出力存在一定的相关性,结合Copula函数与核估计理论,提出一种分析风电场出力相关性的新方法.首先结合非参数核密度估计和Copula理论推导了一种Copula核估计函数;然后由此估计函数替代经验Copula函数来分析风电场出力相关性.不同于经验Copula函数,Copula核估计函数为连续函数,能有效消除参数假设误差,并且可从原理上降低参数估计的复杂度与计算量.以华北地区某实际风电场出力为例,将基于Copula核估计函数和经验Copula函数建立的风电场出力相关性模型分别接入到IEEE30节点测试系统进行潮流验证.结果表明,基于Copula核估计函数建立的风电场出力相关性模型更接近于实际数据模型,两者的潮流计算结果较为一致.

【期刊名称】《电工技术学报》

【年(卷),期】2016(031)013

【总页数】9页(P92-100)

【关键词】风电场;相关性;Copula函数;核估计理论

【作者】徐玉琴;陈坤;李俊卿;聂晹

【作者单位】华北电力大学电气与电子工程学院保定071003;华北电力大学电气

与电子工程学院保定071003;华北电力大学电气与电子工程学院保定071003;华北电力大学电气与电子工程学院保定071003

【正文语种】中文

【中图分类】TM614

对地理距离较近的多个风电场而言，各风电场在相同时刻下基本处于同一风速带，风场出力将同时具备时间上的随机性和空间上的相关性［1-4］。空间上的相关性表现为各风电场出力变化的近似同向性。由于风电场出力具有随机性和波动性，空间相关性将使得累积叠加后的风场总出力波动更加剧烈，进而影响系统的安全稳定运行［5，6］。因此，相关性分析对大型风电场的并网具有重要意义［7-9］。

金融分析中的Copula函数（也称为连接函数）能较准确描述多维变量的相关结构，近年来该函数已被广泛应用于金融和风电场相关性分析。文献［10］采用Gumbel-Copula函数构建多风电场出力的联合概率分布，并通过分析尾部特征来考虑变量的相关性。文献［11］基于Copula函数建立多风电场相关性模型，并

对荷兰多个风电场的出力进行相关性分析。文献［12］采用Copula理论建立风

速相关性模型，间接分析风电场出力相关性对电网的影响。这些文献中所采用的Copula函数均需借助于经验Copula，而经验Copula并非连续函数，与实际数

据模型之间存在一定的差距，这将导致最终选出的Copula函数参数也存在误差，进而影响风电场出力相关性的分析结果。文献［13，14］基于非参数法和Copula 函数得到条件概率密度的核估计，并证明在一定条件下条件概率密度的核估计渐进收敛到真实的条件概率密度。文献［15］采用核估计理论估计二元Copula密度

函数，无需进行参数假设，有效缩短了与实际数据模型之间的误差，并指出由此法得到的变量相关结构具有较强的灵活性和实用性。

本文借鉴文献［13-15］中的方法，提出一种基于核估计理论与Copula函数相结合的风电场出力相关性分析方法。该方法采用Copula核估计函数来替代经验Copula函数，有效缩短了与实际数据模型的差距，并从原理上降低参数估计的复杂度。本文推导、论证了一种Copula核估计函数，并给出应用该函数分析风电场出力相关性的具体方法。通过与目前广泛采用的经验Copula法对比及改进

IEEE30节点测试系统的潮流计算结果，表明了Copula函数与核估计理论相结合

的方法更为简洁、有效。

多维随机变量的联合分布函数能反映变量间的相关特性。因此，对多维变量进行相关性分析最直接有效的方法是求出变量的联合分布函数。但对于非正态的随机变量而言，其联合分布函数的表达式不易给出［16］。

1959年，Sklar提出了 Copula函数理论［17］:设F（x1，x2，…，xn）为n维随机变量x1，x2，…，xn的联合分布函数，各变量对应的边缘分布函数为Fk（xk）（k=1，2，…，n）。若边缘分布函数F1，F2，…，Fn连续，则存在惟一的Copula函数C使得对于随机变量x1，x2，…，xn，满足

对式（1）两端求偏导，得联合密度函数为

式中，fi（xi）为边缘密度函数；c为Copula密度函数。令ui=Fi（xi），则c可

表示为

由Sklar定理可看出，任何一个多维联合分布函数均可表示为若干个边缘分布Fk （xk）与描述相关结构的Copula函数的乘积。采用Sklar定理可方便求出非正态随机变量的联合分布函数。

常用的Copula函数主要有椭圆型Copula函数和阿基米德Copula函数，其中前者主要包括Normal-Cpoula 和t-Copula；后者主要包括 Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula。这5类常用 Copula函数的特性见文献［12］。

由于风电场出力不能用某一特定的概率分布描述，因此本文采用非参数法来估计风电场出力的概率分布。然后借鉴文献［13-15］中提出的将核估计理论与Copula

函数相结合的方法，给出一种分析风电场出力相关性的Copula核估计函数。

2.1 一元核密度估计理论

设为随机变量ω的样本空间，ω的概率密度为f（ω），则f（ω）的核密度估计

为［18，19］

式中，h为窗宽；K（·）为核函数；Kh（·）表示K（·）/h；n为样本容量。

由式（4）可看出，任一点处的核密度估计值完全取决于样本数据，无需进行分布假设。在样本已知时的精度依赖于核函数K（·）和窗宽h的选择。文献［20］指出，窗宽h一定时，不同的核函数对的影响不大。本文选取Gauss函数作为核函数，如下

由上述可知，核密度估计的精度取决于窗宽h的选择。本文采用文献［21］中的

方法来求最优窗宽，求解最优窗宽的数学模型为

根据式（6）求得最优窗宽h0，代入式（4）中即可得f（ω）的核密度估计。

2.2 多元核密度估计理论

设W1，W2，…，Wn是一组d维服从同一分布的样本，以w=（w1，w2，…，wd）表示d维随机变量，则总体概率密度f（w）=f（w1，w2，…，wd）的核

密度估计为

式中，H为窗宽矩阵，是d×d维的对称正定矩阵；K（·）为d维核函数。

多维核密度估计的窗宽矩阵元素较多，最优窗宽矩阵H的确定十分复杂。考虑到

H为正定对称矩阵，由矩阵相似变换原理可知H必与某一正对角矩阵等价且相似。为简化计算，取H为d×d维的正对角矩阵，即H=diag（h1，h2，…，hd），

多维核函数K（·）取d个单核Ki（·）的乘积。由此得f（w）的核密度估计为

本文采用文献［22］中介绍的交叉验证法来求最优窗宽矩阵。求解最优窗宽矩阵