量子系统的几何相位
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首先感谢谢小涛博士的邀请和西北大学物理系各位领导和老师 的接待。 其次：感谢我的合作者 华中科技大学： 吴颖教授、司留刚博士、郝向英博士、李家 华博士等 鲁东大学：吕新友博士
东南大学：杨文星博士 浙江大学：吴 婧博士 重庆大学：魏 华博士
西北大学：谢小涛博士
湖北师范学院：刘堂昆教授、李宏教授、单传家博士等
1
主要内容
几何效应简介 我们的工作
小结
2
动力学系统中的绝热演化 考虑某个依赖于某些外界参数 R 的哈密顿系统，当 绝热演化。
H (R)
绝热条件:
时 R 0 ,
这个系统的动力学演化被称作
1 (R), 2 (R), ..., n (R)
( R ) R i
3
量子绝热定理
n
n (t )
t 1 0
E (R( ))d
n
n (t )
1
t
0
E n ( R ( )) d g n (t )
Berry phase:
g n ( R)
R
R0
* in (R)Rn (R) dR
5
几何相位的产生
平行移动 (parallel transport) 是指在空间曲面上, 矢量沿一曲线上的 运动, 在运动过程 中,矢量在切平面上 没有没有几何转动， 在切面上的法线方 向，转动角速度为 零。
6
7
几何相位的探测
平面镜
M1
B1
4
6
BS 2
输出
7 5
3
解
输入 1
BS1
B2
2
M2
其 中
代入薛定谔方程
50/50 BS
中子
z
C'
说明 几何的：物理上可观测的特征，
这个特征只依赖于系统演化的路径
C
不依赖于波函数的初始相位
y
x
不依赖于系统随时间演化细节
z
K
B BF
y
x
动力学相位的方差
B B0
方差反映的是随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,因 此对于绝热演化 T→∞ 方差趋于零，说明随机涨落分量对几何 相位的影响很小，甚至可以被忽略。
11
量子场驱动非线性 J-C 模型系统的几何相位
哈密顿量
本征态
几何相位 讨论
• n=0, 几何相位不等于零 • n的大小 • 失谐量等于零 ,几何相位与k
9
随机涨落经典场驱动一般自旋系统的几何相位
自旋粒子系统在经典场驱动下 的哈密顿量
z
利用么正变换的方法，通过求 解 Mead-Berry 曲率，该系统 的几何相位的计算结果为
x
B
y
m 是自旋量子数，Ω 曲线所对 应的立体角 2 (1 cos )
10
假设磁场有一个小的随机涨落分量,则 哈密量改写为 考虑K是一个平稳的高斯马尔可夫 过程 (Ornstein-Uhlenbeck process) 几何相位的方差
本征方程 那么对于时刻 t，有 在1984 以前， 认为 Berry 有额外的相角
Proc. R. Soc. London A (1984) 392 45
根据绝热定理, 系统的初态 (0) n (R0 )
H (R)n (R) En (R)n (R)
(t ) ei (t )n (R(t ))
15
总结
• 基本概念
量子绝热定理 Berry 相位 平行移动 • 几何相位的性质 经典随机涨落对几何相位的影响 非线性二能级系统的几何相位
退相干对复合系统的影响
16
谢谢大家
17
12
k-光子 J-C 模型
哈密顿量
几何相位
小数部分 统计因子
讨论
• 共振情况下, 费米统计 • 远共振情况, 玻色统计 • 分数统计
13
场的退相干对几何相位造成的修正
哈密顿量
几何相位
绝热演化 低退相干 几何相位
14
非绝热演化低 退相干几何相位 双模量子场情况 绝热演化在低退 相干几何相位
非绝热演化低 退相干几何相位
考虑一个 依赖于外界 参数 R 的量子系统
薛定谔方程
i d H ( R) dt
En E2 E1
本征方程 H ( R ) n ( R) En ( R ) n ( R)
定理说:
R
当 R 随时间缓慢变化时，即在绝热极限下，系 统的能级不交叉（能级不发生隧穿）。 4
Berry phase
东南大学：杨文星博士 浙江大学：吴 婧博士 重庆大学：魏 华博士
西北大学：谢小涛博士
湖北师范学院：刘堂昆教授、李宏教授、单传家博士等
1
主要内容
几何效应简介 我们的工作
小结
2
动力学系统中的绝热演化 考虑某个依赖于某些外界参数 R 的哈密顿系统，当 绝热演化。
H (R)
绝热条件:
时 R 0 ,
这个系统的动力学演化被称作
1 (R), 2 (R), ..., n (R)
( R ) R i
3
量子绝热定理
n
n (t )
t 1 0
E (R( ))d
n
n (t )
1
t
0
E n ( R ( )) d g n (t )
Berry phase:
g n ( R)
R
R0
* in (R)Rn (R) dR
5
几何相位的产生
平行移动 (parallel transport) 是指在空间曲面上, 矢量沿一曲线上的 运动, 在运动过程 中,矢量在切平面上 没有没有几何转动， 在切面上的法线方 向，转动角速度为 零。
6
7
几何相位的探测
平面镜
M1
B1
4
6
BS 2
输出
7 5
3
解
输入 1
BS1
B2
2
M2
其 中
代入薛定谔方程
50/50 BS
中子
z
C'
说明 几何的：物理上可观测的特征，
这个特征只依赖于系统演化的路径
C
不依赖于波函数的初始相位
y
x
不依赖于系统随时间演化细节
z
K
B BF
y
x
动力学相位的方差
B B0
方差反映的是随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,因 此对于绝热演化 T→∞ 方差趋于零，说明随机涨落分量对几何 相位的影响很小，甚至可以被忽略。
11
量子场驱动非线性 J-C 模型系统的几何相位
哈密顿量
本征态
几何相位 讨论
• n=0, 几何相位不等于零 • n的大小 • 失谐量等于零 ,几何相位与k
9
随机涨落经典场驱动一般自旋系统的几何相位
自旋粒子系统在经典场驱动下 的哈密顿量
z
利用么正变换的方法，通过求 解 Mead-Berry 曲率，该系统 的几何相位的计算结果为
x
B
y
m 是自旋量子数，Ω 曲线所对 应的立体角 2 (1 cos )
10
假设磁场有一个小的随机涨落分量,则 哈密量改写为 考虑K是一个平稳的高斯马尔可夫 过程 (Ornstein-Uhlenbeck process) 几何相位的方差
本征方程 那么对于时刻 t，有 在1984 以前， 认为 Berry 有额外的相角
Proc. R. Soc. London A (1984) 392 45
根据绝热定理, 系统的初态 (0) n (R0 )
H (R)n (R) En (R)n (R)
(t ) ei (t )n (R(t ))
15
总结
• 基本概念
量子绝热定理 Berry 相位 平行移动 • 几何相位的性质 经典随机涨落对几何相位的影响 非线性二能级系统的几何相位
退相干对复合系统的影响
16
谢谢大家
17
12
k-光子 J-C 模型
哈密顿量
几何相位
小数部分 统计因子
讨论
• 共振情况下, 费米统计 • 远共振情况, 玻色统计 • 分数统计
13
场的退相干对几何相位造成的修正
哈密顿量
几何相位
绝热演化 低退相干 几何相位
14
非绝热演化低 退相干几何相位 双模量子场情况 绝热演化在低退 相干几何相位
非绝热演化低 退相干几何相位
考虑一个 依赖于外界 参数 R 的量子系统
薛定谔方程
i d H ( R) dt
En E2 E1
本征方程 H ( R ) n ( R) En ( R ) n ( R)
定理说:
R
当 R 随时间缓慢变化时，即在绝热极限下，系 统的能级不交叉（能级不发生隧穿）。 4
Berry phase