行列式的定义

定义1 由n 个自然数1,2,
,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级
排列.
例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个.
排列12
n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排
列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.
定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12
t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较
小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12
()n i i i τ或τ.
例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设在一个n 级排列12
n i i i 中，比(1,2,,)t i t n =大的且排在t i 前面的数共有i t 个，
则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即
12121
().n
n n i i i i i t t t t τ==++
+=∑
例1 计算排列45321的逆序数.
解 因为4排在首位,故其逆序数为0；
比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；
比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．
可见所求排列的逆序数为
(45321)002349τ=++++=．
定义3 如果排列12
n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序
数为偶数，则称它为偶排列.
例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12
n 的逆序数是0，因此是偶排列.
2.对换
定义1 在排列12
t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，
就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.
经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实. 定理1 对换改变排列的奇偶性.
也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
3.n 阶行列式
定义1 设有2
n 个数，排成n 行n 列的表：
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
作出表中位于不同行列的n 个数的乘积，并冠以符号(1)τ
-，得到!n 个形如
12
12(1)n j j nj a a a τ-的项，其中12
n j j j 为自然数1,2,
,n 的一个排列，τ为这个排列的
逆序数.所有这!n 项的代数和
12
12
12(1)n n
j j nj j j j a a a τ-∑
称为n 阶行列式，记作
12
1212
1112121222()
1212
(1)n n n
n n j j j j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
.
其中
12
n
j j j ∑
表示对所有的n 级排列12
n j j j 求和.行列式有时也简记为det()ij a ，这里数
ij a 称为行列式的元素，12
12()
12(1)n n j j j j j nj a a a τ-称为行列式的一般项.
定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点： ①由于n 级排列的总数是!n 个，所以展开式共有!n 项； ②每项必须是取自不同行不同列的n 个元素的乘积；
③每项前的符号取决于n 个元素列下标所组成排列的奇偶性.
要注意的是，当1n =时，一阶行列式a a =，不要与绝对值记号相混淆. 例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).
1(1)2,1
2
12,111
(1)
n
n n n n n n n a a a a a a ---=-.
证 根据n 阶行列式的定义易得
121
n
n
n a a a (1)((1)21)
2
12,1112,11(1)
(1)
n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=-.
上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如
0001
002003004000
(4321)(1)123424τ=-⨯⨯⨯=. 证毕
类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有
11
22
1122nn nn
a a a a a a =.
主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.
例2 计算上三角形行列式
1112122200
n n nn
a a a a a a .
解 一般项为12
12()
12(1)
n n j j j j j nj a a a τ-，现考虑不为零的项.
n nj a 取自第n 行，但只有0nn a ≠，故只能取n j n =；11,n n j a --取自第1n -行，只有1,11,0,0n n n n a a ---≠≠，由于nn a 取自第n 列，故11,n n j a --不能取自第n 列,所以11n j n -=-；
同理可得，2212,,2,1n j n j j -=-==.
所以不为零的项只有
(12
)
11221122(1)n nn nn a a a a a a τ-=.
所以
1112
1222112200
n n nn nn
a a a a a a a a a =.
在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素按行指标排起来.事实
上，数的乘法是交换的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，n 阶行列式的项可以写成
1122
n n i j i j i j a a a
其中12
12,n n i i i j j j 是两个n 级排列.利用定理1.1.1，可以给出n 阶列式另一种表示法.
定理1 n 阶行列式也定义为
12
121122121211
12121222()()
12
(1).n n n n n n
n n i i i j j j i j i j i j i i i j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a ττ+=
-∑
推论 n 阶行列式也定义为
12
1212
1112121
22
2()
1212
(1).n n n
n n i i i i i i n i i i n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
例2 在四阶行列式中，21321443a a a a 应带什么符号？ 解 1）按定义1.1.5计算.
因为2132144314213243a a a a a a a a =，而4123的逆序数为
(4123)01113τ=+++=，
所以21321443a a a a 的前面应带负号.
2）按定理1.1.2计算.
因为21321443a a a a 行指标排列的逆序数为
(2314)00202τ=+++=，
列指标排列的逆序数为
(1243)00011τ=+++=.
所以21321443a a a a 的前面应带负号. 4、行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变，即
1112111211212221222212
12.n n n n n n nn
n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.
推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即
11121111211212
1
2
12
.n n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 第i 行(或列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或i c k ⨯).
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零. 推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.
性质4 若行列式中第i 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i 行（列）的元素，而除去第i 行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即
1112111221
2n i i i i in in n n nn
a a a a
b a b a b a a a +++ 11
12111
1211
2
12
1212
n
n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a a a a
b b b a a a a a a =+. 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n
个行列式.如
a x
b y a b y
x b y
c z
d w
c d w
z d w
++++=
+
++++a b a y
x b x y
c d
c w
z d
z w
=
+
+
+
性质5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k 乘第j 行加到第i 行上（记作j i kr r +），有
11121111211211
22
12121
2
1
2
n n i i in
i j i j in jn
j j jn j j jn n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=.
以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.
第二讲 行列式的计算
教 学 目 的：掌握行列式的计算 教学重点与难点：行列式的计算 教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
1、化行列式为三角行列式来计算
性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即i j r r ↔，k i ⨯γ，j i kr r +和
i j c c ↔，i c k ⨯，j i kc c +.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算j i kr r +（或
j i kc c +）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式
的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：
把行列式化为上三角行列式的步骤是：
如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
例1 计算行列式
.01
1
2
12120112110-----=
D
解 3131
12
21
102
11020112
011
2121201122
110
03
14
r r r r r r D
+-↔-------
-----=
=
3232
43
3110
211
020112
011
200240
0240
22
2
r r r r r r ++-------------=
=
1(1)(2)(2)4=-⨯-⨯-⨯-=.
例2 计算n 阶行列式
n a b b b b a b
b D b b a
b b b b
a
=. 解 注意到此行列式中各行（列）的n 个数之和相等，故可把第二列至第n 列都加到 第一列上去，然后各行都加上第一行的（－1）倍，就有
12(1)(1)(1)(1)n
c c c n
a n
b b
b
b a n b a b b D a n b b a b a n b b b
a ++++-+-+-+-=
2131
1
(
1)00
0000
n r r r r r r a n b
b
b
b a b a b a b
---+----=
1[(1)]().n a n b a b -=+--
按本例，特别地有：
413111
1311[3(41)1](31)4811311113
-=+-⨯-=.
2、行列式按行（列）展开定理
定义1 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，余下的（1-n ）阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ；再记
ij j i ij M A +-=)1(，
称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
例如，对三阶行列式
1112132122
2331
32
33
a a a a a a a a a 元素12a 的余子式和代数余子式分别为
21231231
33
a a M a a =
，
212312
12121231
33
(1)
a a A M M a a +=-=-=-
.
有了定义1，三阶行列式可以写成
111213
21222311111212131331
32
33
a a a a a a a M a M a M a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++.
引理 一个n 阶行列式D ,若其中第i 行（或第j 列）所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即
ij ij A a D =.
定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即
),,,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj
nj j j j j =+++=
推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理. 我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.
例3 计算行列式
12341012.3110
1
2
5D =
--
解 因为D 中第二行的数字比较简单，所以选择D 的第二行.应用性质5得
31
412122210003
1461217
c c c c D -------=
222
146217
=按第二行
2＋1
展开
（－1）－－－－－ 2131
111100
1
4
6
1
3
5217
239
c c c c --＝22－－－－＝
2(2715)24=-+=-35
=2
-3-9
.
例4 计算n 阶行列式
00
0000
00000
0n a b a b D a b b a
=
.
解 将n D 按第1列展开，则有
1(1)
(1)
00000000
00
(1)0000000
000
n n n n a b b a a b D a
b
a b b a a b +--=+-
1111(1)(1)n n n n n n a a b b a b -+-+=⋅+-⋅=+-.
例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
,)(1111
1121
1
2
22
2
1
2
1
∏≥>≥----==j i n j i n n
n n n
n
n x x x x x x x x x x x D
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法.因为
22121
1211
()i j i j D x x x x x x ≥>≥=
=-=-∏， 所以当2n =时公式成立.现假设公式对于（1n -）阶范德蒙德行列式成立，要证对n 阶范
德蒙德行列式也成立.
对n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有
21311
2213311222221331
1111100()()(),0()()
()
n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------ 按第一列展开，并把每列的公因子1()
(2,3,
,)i x x i n -=提出，得到
2
3
213112222
3
111()()()
,n
n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x ---=---
上式右端的行列式是（1n -）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子
()(2)i j x x n i j -≥>≥乘积.故
213112
()()()
()n n i j n i j D x x x x x x x x ≥>≥=----∏
1
().i j n i j x x ≥>≥=
-∏
证毕
由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是12,,n x x x 这n 个数中至少
有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如
22223
3
3
3
11112345(54)(53)(52)(43)(42)(32)1223452345=------=.
第三讲 习题课
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌
握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.
教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
1 内容精要
排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.
2 知识脉络图
12121212n n
j j nj n j j j ki kj n D a a a j j j n D a A τ
τ=⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩=∑排列,排列的逆序数，奇（偶）排列阶行列式的定义：(-1)，为排列的逆序数
（不同行不同列的个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等，性质两行（列）对应位置元素成比例三个可性：可提性，可分性，可加性
行列式按行（列）展开:展开式111n n ik jk
k k t i i i a A D M A ===⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎧
=⎪⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪=⎪⎪⎩
⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
∑∑∑拉普拉斯展开：基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题
例1用行列式定义计算行列式
01000020
000
1
00
n D n n =
-
解： n D 仅有位于不同行、不同列的n 个非零元素，即
1,12,21,11,2,
,1,n n n nn a a a n a n ---===-=.
因此n D 的!n 项中仅有一项非零，故
((1)(2)
21)
1,12,21,1(1)n n n n n n n nn D a a a a τ-----=-.
因为
(2)(1)
((1)(2)
321)(2)(3)32102
n n n n n n n τ----=-+-+++++=
，
所以
(2)(1)
2
(1)
!n n n D n --=-.
例2 计算行列式.21
1171
2
1
6411232
4--=
D
分析 对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.
解法一（化为三角形行列式）
052059103
5402
101123
2
1712164121
13412134
124-------
-++↔r r r r r r r r D ＝＝
102300
1741005
9
1
210
10
520
354059
1
2
10
123243242----------↔r r r r r r ＝
＝
2
300
3
5
5910
210
1102300
25
05910
2
10
1344342-----+-r r r r ＝＝
.
19 19
000
71005
910
210123007100591
021
01
344332-=-------+r r r r ＝
＝
解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）
00159123
5415
432131
244--++c c c c D ＝
591354543)1()1(14--⨯-=+0011741410233121395------c c c c ＝
31
23101(1)
19.4117
+--=⨯-=---
注 上述两种解法是计算数字行列式常用的方法. 例3计算行列式
1n D +=0121
12
200
000
n n
n
a b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.
分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.
解 111
0121
12,3,,200
0000
j j j
c
j j
a j n
c b n a j c c n
j n
n a b b b a D a a --=-=-∑
＝
012
12
1
()j j j
n
c b n n a j a a a a a a a ==-∑
.
注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.
计算行列式
1n D +=0
121
12
200
000
n n
n
a b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.
分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.
解 111
0121
12,3,,2
00
00000
j j j
c
j j
a j n
c b n a j c c n
j n
n
a b b b a D a a --=-=-∑
＝
012
121
()j j j
n
c b n n a j a a a a a a a ==-∑
.
注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.
例4 计算行列式
123
123
1231
2
3
n
n n n n x m x x x x x m x x D x x x m
x x x x x m
--=--.
分析 该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.
解法一 从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（－1） 倍，得
2312312
31
231
n
i n i n
i n i n
n i n
i n
i n i x m
x x x x m
x m x x D x m
x x m
x x m
x
x x m
====---=
----∑∑∑∑
231
0000000
n
i n
i x m
x x x m m m
=--=
--∑
11
()()n
n i i x m m -==--∑.
解法二 把行列式的第1行乘以)1(-分别加到第n , ,3 ,2 行上去，然后依次将第
n , ,3 ,2 列加到第1列，得
1230
000
n n x m
x x x m m D m m m
m
--=
-- 231
00
000
00
n
i
n i x m
x x x m m m
=--=
--∑
11
()()n
n i i x m m -==--∑.
例5 计算n 阶行列式
n x x x
y D y y
λαββ
β
αββ
β
α
= )2(≥n . 分析 这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零. 解 从第二行开始，各行都减去第n 行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得
00
0000
00
n x x x
x
D y
λ
αβ
βααβ
βααββαβ
β
β
α
----=
--
(1)00
00000
00
(
2)x x
x n x y
n λ
αβαβ
αβββ
βαβ
---=
-+-
(1)
000000
0(2)n n αβ
αβλ
αβββ
βαβ---=-+
-
1(1)
(1)0
00(1)00
00
n n x x x
n x y αβαβ
αβ
+---+--
-
212)()1()1()1(])2([)(-+-----+-+-=n n n n xy n n βαβαβαλ ].)1()2([)(2xy n n n ---+-=-λβλαβα
注 结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算n 阶行列式的又一重要方法.
例6 证明：
012110111000010
000000
1
n n n n n n a a a a a x x a x a x a x a x x
-----=++
++-.
证明 用数学归纳法. 记左边行列式为1n D +，则 当1n =时，012011
a a D a x a x
=
=+-，命题成立.
假设n k =时，1
1011k k k k k D a x a x a x a -+-=++
++，则当1n k =+
时，
012121000010000000
1
k k k a a a a a x x D x x
++--=
-.
对2k D +按第(2)k +列展开，得
(2)1
211(1)
1000010
(1)00010
00
01k k k k k x x
D xD a x ++++++--=+---
1310111()(1)(1)k k k k k k k x a x a x a x a a -++-+=+++++--
111k k k k x a x a x a ++=++
++.
因此由数学归纳法，命题对一切正整数n 成立.
例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式
(1)
11
1(1)()
(1)()111
1
n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---++++++ (2)2
223
33123123123123n
n
n
n n n n 分析 这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换
2
)
1(+n n 次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数1,2,,n ，也
可化为范德蒙行列式.。