二次函数与不等式优秀课件

解得 3 a 2 2
(2)当1 ≤a≤ 2 时，原方程化为 x=a2+3a+2
它在[1,2]上为增函数，∴6≤ x ≤12
综上讨论得9x12 4
例3.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0, a, bR). 设关于 x 的方程
f(x)=0 的两根分别为 x1, x2, f(x)=x 的两根分别为, . (1)若|-|=1, 求 a, b 满足的关系式; (2)若 a, b 均为负整数, 且 |-|=1, 求f(x)的解析式.
5 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x－x2),则x 的取值范围是_________
二次函数与不等式优秀课件
一、二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),
1.方程 f(x)=0 有两正根
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
Baidu Nhomakorabea>0
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
△=b2-4ac≥0. f(0)>0.
2.方程 f(x)=0 有两负根
a2+4ab=9(a<0, a, bR); f(x)= -x2+4x -2.
练习1.
• 1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范 2.已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与非负轴 至少有一个交点，求的取值范围．
-
b 2a
>k
6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k △=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内.
f(m)f(n)<0, 或
① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式;
③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系;
④区间端点处函数值的符号.
例1．已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交 点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围.
解少解题 有：分 一若析 个m：在=原函0，点数则的f(xf右()x=侧)m=x-，23+就x(m+是1-3,表)显x+明然1关的满于图足x象的要与方求x程轴. m的x交2+点(m至3)x+1若=0m至≠少0，有有一两个种正根情，况可：借助根与系数的关系来解。
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
△=b2-4ac≥0. f(0)>0.
3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 f(0)=c<0.
-
b 2a
<k
4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k △=b2-4ac≥0
f(k)>0.
5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k f(k)<0.
练习2
3. 若不等式(a－2) x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R 恒成立，则a的取值范围是( )
A(－∞,2] B[－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2)
4 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1) 的值为( )
A正数 B负数
C非负数
D正
数、负数和零都有可能
( 1 ) 原 点 的 两 侧 各 有 一 个 ， 则 x 1 x 2 m 1 0 得 m 0
(m3)2 4m 0
(2)都在原点右侧，则
x1
x2
3m m
0
1 x1x2 m 0
解得0m1 综上可得 m∈(-∞,1]
例2.已知对于x的所有实数值，二次函数
fx x 2 4 a x 2 a 1 2 a R
的值都非负，求关于x的方程 x a1 2的根的范围.
解函(1题 数 ：)当 分 ， 由解析 这 已得3：样知求得由32a方，已a程△知1时 根方≤20的程， ,即问(a原-题4x方a就2)a2程-转4|化2化a(2为成a1x+求=|1-2函a)22≤将数+0a,值+x6表域示的为问题a 。的
a22a6a122245
f(m)=0
m< -
b 2a
<
m+n 2
,
或
f(n)=0
m+n 2
<
-
b 2a
<
n.
思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于?
9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内.
f(m)>0 f(n)<0
f(p)<0 f(q)>0.
注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分 布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:
当 a3时 ， x有 最 小 值 9；
2
4
当 a1时 ， x有 最 大 值25
2
4
9 x 25
4
4
例2.已知对于x的所有实数值，二次函数
fx x 2 4 a x 2 a 1 2 a R
的值都非负，求关于x的方程 a
x 2
a 1
2的根的范围.
解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,