《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) G)等于以G为底，以曲面
x
F( x, y) 即为随机点(X,Y) ( , )
落在以点(x,y)为顶点,位于
该点左下方的无穷矩形区域
G内的概率值。
随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2 , y1 y y2 ]
内的概率为
P x1 X x2 , y1 Y y2
FF(xx22, y2) FF(xx22,,yy11) FF(xx11, ,yy2 )2 FF(x1x,1y,1y)1
F(x,y)= x
y
f (u, v)dudv
－ －
0
x
=
x
y 2e(2uv)dudv
x
[
y evdv] 2e2udu
00
00
(1 e y ) x 2e2udu （1-e y）(e2u ) x
0
0
=（1-e y）(1 e2x )
(1 e2x )(1 e y ), x 0, y 0
第三章 多维随机变量及其分布
关键词：
二维随机变量 分布函数 边缘分布函数 边缘概率密度 条件分布函数 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度
1
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅 研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不 够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重 值，研究身高和体重之间的关系，这就要引 入定义在同一样本空间的两个随机变量。
因为P x1 X x2, y1 Y y2
F (x2, y2 ) F (x2, y1) F(x1, y2 ) F(x1, y1) 0
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有 限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散 型随机变量。
设X的可能值为 x1, x2,, xm , Y的可能值为 y1, y2,, yn,
1
（2 4x
8x2
)dx
D2
:
0
x
1 2
0
0
(2x2 8 x3 ) 1/2 1 1 1 3 0 23 6
定义2 设 D是平面上的有界区域，其面积为d, 若二维随机变量
（X,Y）的概率密度函数为
f
(x,
y)
1
d
0
则称（X,Y）服从D上的均匀分布
(x, y) D 其他
1
f
(x)
b-a
(2) pij 1
ij
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13
x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
是随机变量，它们各自的分布函数记为：
FX (x)，FY ( y)，称为边缘分布函数。
FX (x) F (x, ) FY ( y) F (, y)
事实上，FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F (x, ) 即在分布函数F (x, y)中令y ，就能得到FX (x)
同理得：FY ( y) P(Y y) F (, y)
x, y
记成
P( X x,Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。0
x
对照一维随机变量及分布函数
s e
x
一维随机变量 X的分布函数
F(x) P(X x) x
几何意义 (X,Y)平面上随机点的
坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
y
y
x, y
Y X ,Y
O Xx
(e2 x
2 3
e3x
)
|0
1 2 1 33
2e(2xy), x 0，y 0
f (x, y) 0,
其他
y
yx
0
x
D
:
0 0
y x
x
例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
kxy, 0 x y 1 f (x, y) 0, 其他
0 x y D1 : 0 y 1
y
(1) 求常数k；(2) 求概率 P( X Y 1)
分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1,, i .
则： P( X i,Y j)
P( X i) P(Y j X i)
76 = 7 10 9 15
P｛X=1,Y=0｝=
37 = 7 10 9 30
P｛X=0,Y=1｝=
73 = 7 10 9 30
P｛X=1,Y=1｝= 3 2 = 1
10 9 15
二维随机变量 (X,Y)的概率分布律为
XY
0
1
0
7/15
7/30
1
7/30
1/15
18
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y,
则 ( X ,Y )的可能值为 ( xi , yj ),
i 1,2,, m,; j 1,2,, n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的性质： (1) 0 pij 1
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy 1
(3) F ( x)与f ( x)的关系
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
f ( x, y)反映(X,Y)落在( x, y) 处附近的概率大小
P(x X x x, y Y y y)
我们称 X ,Y 为服从参数为1，2，1， 2， 的二维正态分布，
记为：( X ,Y ) N (1，2, 12， 22, )；
28
二维正态分布密度函数的图形
29
二维正态随机向量 X ,Y 的概率密度为：
f (x, y)
1
21 2 1 2
e
1 2(1 2
)
( x1 )2 12
2
( x1 )( y2 1 2
解：1 利用
f (x, y)dxdy 1
1
yx
得：1
f (x, y)dxdy
1
[
y
kxydx]dy
00
1 k y3dy k k 8
02
8
0
x
2 P(X Y 1)
1
1 x
2 dx 8xydy
1
2 4x[(1 x)2 x2 ]dx
0
x
0
x y 1-x
1
2 4x(1 2x)dx
y)dxdy = A
1
4
dxdy
1
4
1dxdy
A
1 1 1
4 2 8
O 1 2x
二维正态分布
定义 设二维随机变量 X ,Y 的概率密度为：
f (x, y)
1
21 2 1 2
e
1 2(1 2
)
( x1 )2 12
2
(
x1)( y2 1 2
)
(
y2
2 2
)2
x ， y
其中 1，2，1， 2，都是常数，且1 0， 2 0，1 1；
当分布函
FX
(x)
F (x,
)=
lim
y
F (x,
y)
数连续时：
FY
( y)
F (,
y)
lim
x
F (x,
y)
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi，Y y j ) pij，i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
y
y2
(x2 , y2 )
x1 (x1, y1) y1
x
O
7
分布函数 F(x, y) 的性质
1。F x, y关于x, y单调不减，即：
x1 x2 F (x1, y) F (x2 , y)
y1 y2 F (x, y1) F (x, y2 )
y (x1,y) (x2,y)
x1 x2
2 0 F(x, y) 1，F(, ) 1 对任意x, y
如果存在非负函数f x, y，使对于任意x, y，
有F (x, y)
y
x
f (u, v)dudv
称 X,Y 为连续型的二维随机变量
称f x, y为二维随机变量 X,Y 的联合概率密度
说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2) f (x, y) 的性质
解: (X,Y)所有可能的取值为： （0,3）（1,1）（2,1）（3,3） P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8
YX 0
1
2
3
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0
0 1/8
例2: 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个 数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数 .求(X,Y)的分布律。
y2
(x,y2)
y1
(x,y1)
F(, y) F(x, ) F(, ) 0
x
3。F x, y关于x, y右连续，即： y2
lim F(x , y) F(x, y)
0
lim F(x, y ) F(x, y)
y1
0
0
4 若x1 x2 , y1 y2
x1 x2
F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1) 0
)
(
y2
2 2
)2
x ， y
f (x, y)dxdy 1
当 =0时：
e f (x, y) 1
2 1 2
=
1 2
( x1 )2 12
+
(
y2 )2
2 2
1
e
(
x1 )2 212
2 1
1
e
(
y2 )2
2
2 2
2 2
§2 边缘分布
二维随机变量 X ,Y 作为整体，有分布函数F (x, y),其中X 和Y都
Y
第一次取到的产品是正品 0
第二次取到的产品是次品 第二次取到的产品是正品
试求(X,Y)的联合分布律。
解: (X,Y)所有可能的取值为： （0,0）（1,0）（0,1）（1,1）
P｛X=0,Y=0｝=
76 = 7 10 9 15
P｛X=0,Y=1｝=
73 = 7 10 9 30
17
P｛X=0,Y=0｝=
0
x (a,b) 其他
y
2
例
设（X,Y）服从半径为2圆域上的均匀分布，
计算 P{(X,Y)∈A}, 这里A是图中阴影的区域。
1 x y 1
A
解:
A的面积d 4
1
（X,Y）的概率密度函数为
f
(x,
y)
4
x2 y2 4
S区域A
=
1 2
11=
1 2
0
x2 y2 4
P{ X
,Y
A}= A
f
(x,
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每 枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来 确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随 机变量。
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
F(x, y) 0,
其他
2 P{X 2，Y 3}=F(2,3)=（1-e3）(1 e22)
=1-e3 e4 e7
3 P(Y X ) f (u,v)dudv
D
[
x 2e(2x y)dy]dx
00
0
2e2（x -e
y）|0x
dx
2e2（x 1-ex）dx 0
（2e2x -2e3x）dx 0