多元函数微分学
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切平面的法向量
Fx (x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
2z dz 3 dx
5 dz 2
2x
dx dx
在(1,1,1)点解得:
dy 9 , dz 1 dx 16 dx 16
切线方程
x 1 y 1 z 1 16 9 1
法平面方程 16(x 1) 9( y 1) 1(z 1) 0
16x 9y z 24 0
二.曲面的切平面与法线
y, y,
z) z)
0 0
因为它确定隐函数Βιβλιοθήκη Baiduy = y(x), z = z(x),所以利用隐函数微 分法及情形2即可解决.
例1 求曲线 x t, y t2, z t3 在点(1,1,1)处的切线和法平面.
x 1, y 2t, z 3t 2 (1,1,1) t 1 T {1,2,3}
M0M :
x x0 y y0 z z0 x y z
即
x x0 y y0 z z0 x y z
t
t
t
M M 0 t 0
切线方程
切向量
M 0T :
x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
T {(t0 ), (t0 ),(t0 )}
法平面方程 (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
切线方程 法平面方程
x 1 y 1 z 1 123
(x 1) 2( y 1) 3(z 1) 0
x 2y 3z 6 0
例2 求曲线 x2 y2 z2 3z 0,2x 3y 5z 4 0
在点(1,1,1)处的切线和法平面.
方程两边对x求导:
2
y
dy dx 3 dy
多元函数微分学
第五节 偏导数的应用
一. 空间曲线的切线和法平面
切线
当M 沿曲线L趋向于M0 时,割线 M 0M 的极限位置 M 0T .
法平面 过 M0 而垂直于切线 M 0T 的平面
1.设曲线 : x (t), y (t), z (t).
M
T
M0
导数不全为零
t t0 M 0 (x0 , y0 , z0 ), t t0 t M (x0 x, y0 y, z0 z),
T {(t0 ), (t0 ),(t0 )}
因为 F[(t), (t),(t)] 0. 两边对t求导
Fx (x0 , y0 , z0 )(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(t0 ) 0
n {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}T
则称z=f(x,y)在点(x0 , y0 )有极大值 f (x0 , y0 );
反之,为极小值.
极值
极值点
例如: z x2 y2
极小值 f (0,0)=0;
z 1 x2 y2 极大值 f (0,0)=1.
定理1(极值必要条件)
设z=f(x,y)在点 (x0, y0 )具有偏导数且有极值,则
2.设曲面方程为 z f (x, y)
切平面 法线
设 F(x, y, z) f (x, y) z, 当作第一种情形计算.
例3. 求 z x2 y2 1在点(2,1,4)处的切平面和法线.
F x2 y2 z 1 在点(2,1,4): Fx 4, Fy 2, Fz 1,
切平面方程 4(x 2) 2( y 1) (z 4) 0 4x 2y z 6 0
法线方程
x 2 y 1 z 4 4 2 1
例4. z xy 在哪一点处的法线垂直于 x 3y z 9 0 .
n {y0, x0,1} y0 x0 1 131
x0 3, y0 1, z0 3
练习
1.求2x2 3y2 z2 9的与平面 2x 3y 2z 1 0 平行的切平面
1 z0
(z z0)
0,
其截距式方程为 1 x 1 y 1 z 1.
ax0
ay0
az0
故在三个坐标轴上的截距之和为
ax0 ay0 az0 a.
三.多元函数的极值
定义: 设z=f(x,y)在点 (x0, y0 )的某邻域内有定义,如果在该邻 域内 f (x, y) f (x0, y0 ), (x, y) (x0, y0 )
2.设曲线 : y (x), z (x).
将x视为参数, : x x, y (x), z (x).
切线方程
x x0 y y0 z z0
1 (t0 ) (t0 )
法平面方程
(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
3.设曲线
:
F ( x, G(x,
或
y0
1
.
z0 2
故切平面方程为 2x 3y 2z 9.
2.证明曲面 x y z a (a 0)上任一点(x0, y0, z0 ) 处的 切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数.
曲面上任一点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为
1 x0
(x
x0 )
1 y0
(y
y0 )
切平面
若曲面 上过点 M 0的任意曲线的切线都位于同一平面. 过 M 0且与切平面垂直的直线 法线 1.设曲面方程为 F(x, y, z) 0 M 0 (x0, y0, z0 ) , F(x, y, z)在该点偏导数连续且不全为零. 是曲面上过 M 0的任一曲线: x (t), y (t), z (t).
点 (x0 , y0 , z0 ) 处切平面的法向向量为 n {2x0 ,3y0 , z0}.
切平面与平面2x 3y 2z 1 0 平行, 即 n || n1 ,
也即 2x0 3y0 z0 , 2 3 2
又 2x02 3y02 z02 9,
解得
x0 1
y0
1
z0 2
x0 1
Fx (x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
2z dz 3 dx
5 dz 2
2x
dx dx
在(1,1,1)点解得:
dy 9 , dz 1 dx 16 dx 16
切线方程
x 1 y 1 z 1 16 9 1
法平面方程 16(x 1) 9( y 1) 1(z 1) 0
16x 9y z 24 0
二.曲面的切平面与法线
y, y,
z) z)
0 0
因为它确定隐函数Βιβλιοθήκη Baiduy = y(x), z = z(x),所以利用隐函数微 分法及情形2即可解决.
例1 求曲线 x t, y t2, z t3 在点(1,1,1)处的切线和法平面.
x 1, y 2t, z 3t 2 (1,1,1) t 1 T {1,2,3}
M0M :
x x0 y y0 z z0 x y z
即
x x0 y y0 z z0 x y z
t
t
t
M M 0 t 0
切线方程
切向量
M 0T :
x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
T {(t0 ), (t0 ),(t0 )}
法平面方程 (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
切线方程 法平面方程
x 1 y 1 z 1 123
(x 1) 2( y 1) 3(z 1) 0
x 2y 3z 6 0
例2 求曲线 x2 y2 z2 3z 0,2x 3y 5z 4 0
在点(1,1,1)处的切线和法平面.
方程两边对x求导:
2
y
dy dx 3 dy
多元函数微分学
第五节 偏导数的应用
一. 空间曲线的切线和法平面
切线
当M 沿曲线L趋向于M0 时,割线 M 0M 的极限位置 M 0T .
法平面 过 M0 而垂直于切线 M 0T 的平面
1.设曲线 : x (t), y (t), z (t).
M
T
M0
导数不全为零
t t0 M 0 (x0 , y0 , z0 ), t t0 t M (x0 x, y0 y, z0 z),
T {(t0 ), (t0 ),(t0 )}
因为 F[(t), (t),(t)] 0. 两边对t求导
Fx (x0 , y0 , z0 )(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(t0 ) 0
n {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}T
则称z=f(x,y)在点(x0 , y0 )有极大值 f (x0 , y0 );
反之,为极小值.
极值
极值点
例如: z x2 y2
极小值 f (0,0)=0;
z 1 x2 y2 极大值 f (0,0)=1.
定理1(极值必要条件)
设z=f(x,y)在点 (x0, y0 )具有偏导数且有极值,则
2.设曲面方程为 z f (x, y)
切平面 法线
设 F(x, y, z) f (x, y) z, 当作第一种情形计算.
例3. 求 z x2 y2 1在点(2,1,4)处的切平面和法线.
F x2 y2 z 1 在点(2,1,4): Fx 4, Fy 2, Fz 1,
切平面方程 4(x 2) 2( y 1) (z 4) 0 4x 2y z 6 0
法线方程
x 2 y 1 z 4 4 2 1
例4. z xy 在哪一点处的法线垂直于 x 3y z 9 0 .
n {y0, x0,1} y0 x0 1 131
x0 3, y0 1, z0 3
练习
1.求2x2 3y2 z2 9的与平面 2x 3y 2z 1 0 平行的切平面
1 z0
(z z0)
0,
其截距式方程为 1 x 1 y 1 z 1.
ax0
ay0
az0
故在三个坐标轴上的截距之和为
ax0 ay0 az0 a.
三.多元函数的极值
定义: 设z=f(x,y)在点 (x0, y0 )的某邻域内有定义,如果在该邻 域内 f (x, y) f (x0, y0 ), (x, y) (x0, y0 )
2.设曲线 : y (x), z (x).
将x视为参数, : x x, y (x), z (x).
切线方程
x x0 y y0 z z0
1 (t0 ) (t0 )
法平面方程
(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
3.设曲线
:
F ( x, G(x,
或
y0
1
.
z0 2
故切平面方程为 2x 3y 2z 9.
2.证明曲面 x y z a (a 0)上任一点(x0, y0, z0 ) 处的 切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数.
曲面上任一点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为
1 x0
(x
x0 )
1 y0
(y
y0 )
切平面
若曲面 上过点 M 0的任意曲线的切线都位于同一平面. 过 M 0且与切平面垂直的直线 法线 1.设曲面方程为 F(x, y, z) 0 M 0 (x0, y0, z0 ) , F(x, y, z)在该点偏导数连续且不全为零. 是曲面上过 M 0的任一曲线: x (t), y (t), z (t).
点 (x0 , y0 , z0 ) 处切平面的法向向量为 n {2x0 ,3y0 , z0}.
切平面与平面2x 3y 2z 1 0 平行, 即 n || n1 ,
也即 2x0 3y0 z0 , 2 3 2
又 2x02 3y02 z02 9,
解得
x0 1
y0
1
z0 2
x0 1