23 互感及含耦合电感的电路计算

如果右线圈绕向反过来？ 如果右线圈绕向反过来？
ψ 1 = ψ 11 − ψ 12 = L1i1 − M12 i2 ψ 2 = −ψ 21 + ψ 22 = − M 21i1 + L2 i2
一般地，对线性线圈而言，两线圈中的互感系数是相等的， 一般地，对线性线圈而言，两线圈中的互感系数是相等的， 即M12=M21=M
电路 南京理工大学自动化学院
串联
. .
i
i
* *
L1
M
*
M
L2
.
*
L1
L2
.
综上所述， 综上所述，耦合电感串联时的等效电感为
L = L1 + L2 + 2 M
其中， 同样为代数量 同样为代数量： 电流从同名端流入时， 其中，M同样为代数量： 电流从同名端流入时，M>0 电流从异名端流入时， 电流从异名端流入时，M<0
ψ 1 = ψ 11 + ψ 12 = L1i1 + M12 i2 ψ 2 = ψ 21 + ψ 22 = M 21i1 + L2 i2
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电路
+.
9.1 互感
互感
N2
3、线圈1和2通电流 N 线圈1 1
φ12 φ11
φ22
i2
φ21
_ u 1
i1 +.
_ u 2
.
.
N1 N2
φ12 φ11
φ22
i2
φ21
_ u 1
i1 +.
_ u 2
.
.
dψ 1 dψ 11 dψ 12 di1 di2 u1 = = − = L1 −M dt dt dt dt dt dψ 2 dψ 21 dψ 22 di1 di 2 u2 = =− + = −M + L2 dt dt dt dt dt
dψ 1 dψ 11 dψ 12 di1 di2 u1 = = + = L1 +M dt dt dt dt dt dψ 2 dψ 21 dψ 22 di1 di2 u2 = = + =M + L2 dt dt dt dt dt
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电路
+.
9.1 互感
互感
φ φ 自感磁通； i1:施感电流； 11 :自感磁通； 21 :耦合磁通或互感磁通 施感电流；
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+.
9.1 互感
1、线圈1通电流 线圈1
互感
N1 N2
φ21
φ11
_ u 11
.
i1
_ u 21
+.
.
若左线圈中通一电流i 则在线圈本身中形成自感磁通Φ 若左线圈中通一电流i1，则在线圈本身中形成自感磁通Φ11 和自感磁链ψ11，显然ψ11=L1i1，L1为线圈 l的自感；在右线圈 自感； 全部匝数N 中将形成互感磁通Φ 全部匝数N2中将形成互感磁通Φ 21和互感磁链ψ21， ψ21也与电 流i1 成正比，即ψ21=M21i1，比例系数M21称为线圈 l与线圈2的 成正比， 比例系数M 与线圈2 互感。 互感。
ψ12也与电流i2成正比，即ψ12=M12i2，比例系数M12称为线圈 2 也与电流i 成正比， 比例系数M
与线圈1 互感。 与线圈1的互感。
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+.
9.1 互感
互感
N1 N2
3、线圈1和2通电流 线圈1
φ12 φ11
φ22
i2
φ21
_ u 1
i1 +.
_ u 2
.
.
若两个线圈中同时有电流i 若两个线圈中同时有电流i1和i2存在，则每个线圈中总磁链 存在， 为本身的自感磁链和另一个线圈中电流在线圈内形成的互感 磁链的代数和。 磁链的代数和。
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串联
. .
i
i
* *
L1
M
*
M
L2
.
*
L1
L2
_
.
_
_
jω M I 1
_
.
X L1 = ω L1 — 自感抗 X M = ω M — 互感抗
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电路
耦合系数
耦合系数
耦合系数为两耦合线圈的互感磁链和 自感磁链之比的几何平均值， 表示。 自感磁链之比的几何平均值，用k表示。 表示
ψ 12 ψ 21 Mi 2 Mi1 M k= ⋅ = ⋅ = ψ 11 ψ 22 L1 i1 L2 i2 L1 L2
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电路
9.1 互感
相量电路模型
+ .
.
I1
.
jω M
I2
.
U1 jω L1
* *
.
_
+ . jω L2 U2 _
.
+
U1 + jω M I 2
.
.
I1
jω L1
.
I2
jω L2
.
.
+
U2
.
.
+
U1 jω L1
+ .
. .
I1
.
jω M
I2
.
* *
_
+ . jω L2 U2 _
. .
• • •
电路
♦
•
*
♦
*
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同名端
同名端的判别
b、直流法： 直流法：
测定同名端的电路
如果发现电压表指针正向偏转，说明 如果发现电压表指针正向偏转，
u2 = u2 M
电路
di1 则可断定l 是同名端. =M > 0 ，则可断定l和2是同名端. dt
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9.1 互感
电路 南京理工大学自动化学院
+.
9.1 互感
互感
N1 N2
2、线圈2通电流 线圈2
φ22
i2
φ12
_ u 12 _ u 22
.
+.
.
同理，若右线圈中通一电流i 同理，若右线圈中通一电流i2，则在线圈本身中形成自感 磁通Φ 磁通Φ 22和自感磁链ψ22，显然ψ22=L2i2，L2为线圈 2的自感； 自感； 在左线圈全部匝数N 中将形成互感磁通Φ 在左线圈全部匝数N1中将形成互感磁通Φ 12和互感磁链ψ12，
南京理工大学自动化受控源电路模型
+
u1
.
i1 L1
M
i2 L2 i2 L2
* *
+
u2
.
+
L1 u1 L2
.
i1
i2
.
+ + +
u2
.
_
.
i1 M
_
_
+
u1
. .
. .
.
di di2 M dt _
di di1 M _ dt
_
.
*
L1
+ _
_
u2
*
注：1. 受控源电压源和电流 为关联参考方向。 为关联参考方向。 2. M为代数量。电流均 为代数量。 为代数量 从同名端流入时， 取正 取正， 从同名端流入时，M取正， 否则取负。 否则取负。
电路
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9.1 互感
互感
N1 N2
φ21
φ11
_ u 11
.
i1
_ u 21
+.
.
如果两个线圈的磁场存在相互作用，就称这两个线圈具 如果两个线圈的磁场存在相互作用， 有磁耦合。图示为两个相互有磁耦合关系的线圈。 有磁耦合。图示为两个相互有磁耦合关系的线圈。
+.
电路
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作业
9 -3 9 -6 9-10 (b, d)
电路
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第9章 含耦合电感的电路
目 录
9.1 互感 9.2 含耦合电感的电路计算 9.3 空心变压器 9.4 理想变压器
电路
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9.1 互感
磁耦合线圈在电子工程、 磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测量仪器等方面 得到了广泛应用。为了得到实际耦合线圈的电路模型， 得到了广泛应用。为了得到实际耦合线圈的电路模型， 现在介绍一种动态双口元件——耦合电感 现在介绍一种动态双口元件——耦合电感，并讨论含 耦合电感， 耦合电感的电路分析。 耦合电感的电路分析。
k = 1 全耦合 k < 0.05 松耦合 0.05 < k < 1 越大耦合越紧
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耦合系数
耦合系数
耦合系数为两耦合线圈的互感磁链和 自感磁链之比的几何平均值， 表示。 自感磁链之比的几何平均值，用k表示。 表示
Mi 2 Mi1 M ψ 12 ψ 21 k= ⋅ = ⋅ = L1 i1 L2 i2 ψ 11 ψ 22 L1 L2
需耦合时 两线圈紧密绕在一起或靠近。 （1）两线圈紧密绕在一起或靠近。 将绕组绕在用铁磁材料制成芯子上面。 （2）将绕组绕在用铁磁材料制成芯子上面。 不需耦合时两线圈 互相垂直放置。（ 。（2 远离。（ 。（3 相互屏蔽。 （1）互相垂直放置。（2）远离。（3）相互屏蔽。
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9.1 互感
自感
在此电感元件中，磁链Ψ和感应电压u 在此电感元件中，磁链Ψ和感应电压u均由流经本电感元件 的电流所产生， 的电流所产生，此磁链感应电压分别称为自感磁链和自感 电压
φ
+ u _
Ψ
L=
ψ
i
. .
i
线性电感
0
dψ di u= =L dt dt
电路
i
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9.1 互感
互感
9.2 含耦合电感的电路计算
一对耦合电感的串联
. .
i
i
* *
L1
M
*
M
L2
.
*
图(a)
L1
L2
.
图(b)
顺串是将 的异名端相连[图 顺串是将L1和L2的异名端相连 图(a)]，电流 均从同名 是将 ，电流i均从同名 端流入，磁场方向相同而相互增强。反串是将 是将L 端流入，磁场方向相同而相互增强。反串是将 1和L2的同 名端相连[ 图(b)]，电流i从L1的有标记端流入，则从L2的有 名端相连 ，电流 从 的有标记端流入，则从 标记端流出，磁场方向相反而相互削弱。 标记端流出，磁场方向相反而相互削弱。
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+.
9.1 互感
互感
N1 N2
φ12 φ11
φ22
i2
φ21
_ u 1
i1 +.
_ u 2
.
.
当电流i 当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随时间 随时间变化时， 变化，并将在线圈中产生感应电动势。 变化，并将在线圈中产生感应电动势。 根据电磁感应定律: 根据电磁感应定律:
每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电压 每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电压和互感 自感电压和互感 磁链产生的互感电压两部分组成。 磁链产生的互感电压两部分组成。 互感电压两部分组成
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+.
同名端
“同名端”标记 同名端”
为了在未知线圈相对位置和绕法的情况下， 为了在未知线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电 压的极性， 压的极性，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符 号，称为同名端。当电流i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向 称为同名端。当电流 相同而相互增强时，电流 所进入(或流出 的两个端钮， 或流出)的两个端钮 相同而相互增强时，电流i1和i2所进入 或流出 的两个端钮， 同名端， 表示。 就称为同名端 常用• 和 或 和 就称为同名端，常用 或 * 表示。例如左图的 l和2(或 l′和2 ′) 是同名端； 是同名端；右图的 l和2 ′或（ l ′和2）是同名端。 和 或 和 ）是同名端。
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同名端
1、同名端定义 、
当电流i 当电流 1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强 所进入(或流出 的两个端钮称为同名端 或流出)的两个端钮称为同名端。 时，则电流i1和i2所进入 或流出 的两个端钮称为同名端。 则电流
2、同名端的判别 、
a、 通过绕向判别： 、 通过绕向判别：
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反串
2. 反串：电流从异名端流入的串联 反串：
M
.
+
i
*
L1
L2
*
u
. _
di di di di u = L1 − M − M + L2 dt dt dt dt di " di = ( L1 + L2 − 2 M ) = L dt dt
此式表明耦合电感反接串联的单口网络，就端口特性 此式表明耦合电感反接串联的单口网络， 而言，等效为一个电感值为 的二端电感。 而言，等效为一个电感值为L”= L1+L2-2M的二端电感。 的二端电感
N1 N2
φ21
φ11
_ u 11
.
i1
_ u 21
+.
.
为了更好地说明问题，图中部分物理量采用双下标表示： 双下标表示 为了更好地说明问题，图中部分物理量采用双下标表示： 第一下标表示该物理量所在线圈的编号；第二下标表示产 第一下标表示该物理量所在线圈的编号； 生该物理量的电流所在线圈的编号。 生该物理量的电流所在线圈的编号。
耦合电感端口的伏安关系
+
u1
.
i1 L1
M
i2 L2
. .
* *
+
u2
. . .
电路
_
_
di1 di 2 u1 = L1 +M dt dt di1 di 2 u2 = M + L2 dt dt
i1
M
i2 L2
+
u1
. .
*
L1
+ _
_
u2
*
di1 di2 u1 = L1 −M dt dt di1 di2 u2 = − M + L2 dt dt
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顺串
1. 顺串：电流从同名端流入的串联 顺串： u _ + u _ +
1
.
+
i
*
L1
M
2
*
u
L2
. _
di di di di u = L1 + M + M + L2 dt dt dt dt di ' di = ( L1 + L2 + 2M ) = L dt dt
耦合电感顺接串联的单口网络，就端口特性而言， 耦合电感顺接串联的单口网络，就端口特性而言，等效为 一个电感值为L 的二端电感。 一个电感值为 ’= L1+L2+2M 的二端电感。