洛必达法则课件

1 x
1
19
洛必达法则
2. 型
步骤: 0
例 求 lim (
x 0
通分
0
1 sin x

1 x
). ( ) 1 cos x sin x x cos x
0.
(
解
原式 lim
x sin x x sin x
x 0
x 2
(
)
lim
x
3 sin 3 x sin x

2
3.
13
洛必达法则
例 lim 解
注
ln x x
n
x
) ( n : 正整数 ) ( 1
x nx
n1

原式 lim
x
lim
1 nx
n
x
0
n 换成 0 , 极限式子仍成立
.
a
x a
A.
6
洛必达法则
这种在一定条件下通过分子分母分别求导 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则. 注
f (x) 0 f ( x ) 0 ( 1 ) lim lim x a F ( x ) x a F ( x ) 0 0
f ( x ) 0 lim x a F ( x ) 0
4
洛必达法则
( 1 ) lim f ( x ) 0 , lim F ( x ) 0 ;
0
x a
x a
证
( 仅对
型给出证明
)
0 若 f ( x ), F ( x ) 在点 a 连续 , 则由条件(1),
必有 f (a ) F (a ) 0.
若 f ( x ), F ( x ) 在点 a 不连续 , 由于 lim f ( x ) 0 ,
(

) lim
e
x
x
2
18
.
洛必达法则
例
求 lim x (
x

2
arctan x ). ( 0 )

arctan x 1 x
解
原式 lim 2
x
(
0 0
)
lim
x
1 1 x 1 2 x
2
lim
x
2 2
x
1 sin x
1
(

)
lim ( 1 sin x ).
x
洛必达法则失效.
原式 lim ( 1
x
极限不存在
1 x
cos x ) 1 .
16
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其二 可能永远得不到结果! 分子，分母有单项无理式时,不能简化.
2x
如
x
lim

f ( ) F ( )
( 在 x 与 a 之间 )
f ( x ) F ( x )
f ( x ) F ( x )
当 x a时 , a ,
lim f (x) F (x) lim
( 3 ) lim
lim
x a
A
f ( ) F ( )
x a
将其它类型未定式化为洛必达法则可 关键 0 解决的类型 , .
1. 0 型
0
1

步骤:
例 解
0

x

求 lim x
x
2
e .
e x
x 2
( 0 )
或
0 0
1 0

0 0
原式 lim
x
(

) lim
e
x
x
2x
解 原式 lim e
x 0

x ln x
ln x 1 x
e
)
x 0
lim x ln x (0 )

1 lim
x 0
lim
e
x 0

(
e

x 1 x
2
0 e 1.
22
洛必达法则
1
例 求 lim (cot x ) ln x ( 0 )
x 0

1 ln x
2 ) 在 ( a , x )内可导 , 且 F ( x ) 0 .
( 点 a 处除外 ),
5
( 2 ) f ( x ), F ( x ) 在点 a 的邻域内可导
且 F ( x ) 0;
洛必达法则
柯西定理 在 ( a , x )内至少存在点 , 使
f (x) F (x)
f ( x ) f (a ) F ( x ) F (a )
(2) f ( x ), F ( x )在点a 的邻域内可导 (点 a 处 ,
可除外)且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim A (或 ); x a F ( x ) f ( x ) f ( x) A (或 ). 则 lim lim x a F ( x ) x a F ( x )
2
洛必达法则
这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将 lim
lim f ( x ) F ( x ) f ( x) F ( x)
x a ( x )
的计算问题转化为
x a ( x )
的计算. 其基本思想是由微积分著名
先驱, 17世纪的法国数学家洛必达 (L‘Hospital)
cos x x
3
1 x
x 0
.(
0 0
1
)
sin x 原式 lim
x 0
2 1 x
2
3x
.
8
洛必达法则
定理2 设 ( 1 ) lim f ( x ) 0 ( 或 ), lim F ( x ) 0 ( 或 );
x x
( 2 ) 当 x N 时 , f ( x ) 和 F ( x ) 可导 , 且 F ( x ) 0 ; f ( x ) ( 3 ) lim A ( 或为 ); x F ( x )

)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
… (多次用法则)
( 2 ) x a 0 , x a 0 , 法则成立 .
7
洛必达法则
例
求 lim
x
cos x x

2

2
.(
0 0
)
解
原式 lim
x
(cos x ) (x

2

2
lim
x
sin x 1
)

2
sin

2
1.
例 解
求 lim
提出的, 后人对他的思想作了推广, 从而产生了简
便而重要的 洛必达法则.
3
洛必达法则
一、 型 , 型未定式 0
定理1 设函数 f ( x )及F ( x )满足条件
( 1 ) lim f ( x ) 0 ( 或 ), lim F ( x ) 0 ( 或 );
x a
x a
0

)
解
1 x 原式 lim 1 x 1 1 cos 2 x x
2
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
( 1 ) 只有 0 0 或 0 0 或 的未定式 , 才可能用法则 ,
只要是
, 则可一直用下去;
(2) 在用法则之前,式子是否能先化简;
(3) 每用完一次法则,要将式子整理化简;
1 2
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x

2
பைடு நூலகம்
.
(

)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0

2

lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )

型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(

)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
1 x x
2
(
x

2
) lim
2 1 x 1
2
x
lim
x
1 x
1 x x
(
) lim
1 x 1 x
2
lim
1 x x
2
x
x
2
其实:
x
lim
1.
杜波塔托夫的一个著名例子.
17
洛必达法则
二、 0 , 型未定式
2 x 1 x 1
2
lim
1 2x
x1
x1

1 2
.
21
洛必达法则
三、 , 1 , 型未定式 0
0
0

0
步骤: 0 e
1 e
0
0 ln 0
ln 1
0 0 0
e
x 0

0 ln
例 求 lim x x . ( 00 )
(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
11
洛必达法则
例
求 lim
e sin x 1
x
x 0
(arcsin x )
2
.(
0 0
)
解 arcsin x ~ x ( x 0)
原式 lim e sin x 1
x x 0
x
x
2
( 0 0
1 2
洛必达 (L‘Hospital) 法国数学家 (1661-1705)
2.5节
0 0
0
洛必达法则
型未定式
型,
0 , 型未定式
0 ,1 , 型未定式
0
小结
思考题
作业
1
第三章 微分中值定理与导数的应用
洛必达法则
定义 如果当 x a (或x )时, 两个函数 f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大, 那末极限
lim F ( x ) 0 ,可补充定义 f (a ) F (a ) 0.
x a
x a
使 f ( x ), F ( x ) 在 x a 点连续 .
任取点 x , a x a ( 不妨设 x a ).
f ( x ), F ( x ) 满足
1 ) 在 [ a , x ]上连续 ;
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
注 对 x ( ), 定理2成立;

arctan x sin 1 x 1 .(
例
求 lim 2
x
0 0
e
e
lim
ln x 1 x
1
x1
1 lim x x1 1
e
24
洛必达法则
杂例
例
求 lim
x 0
e sin x 1
x
(arcsin x )
2
.(
0 0
)
解 arcsin x ~ x ( x 0)
原式 lim e sin x 1
x x 0
x
x
2
( 0 0
则
lim
f (x) F (x)
1 z
x
lim
f ( x ) F ( x )
x
A ( 或为 ).
证 令x ,则 x 等价于 z 0, 用定理1有
1 1 f f f (x) z z lim lim lim x F ( x ) z 0 z 0 1 1 F F z z 1 2 z 1 2 z
(
0 0
) lim
0 0
x 0
)
lim
sin x cos x cos x x sin x
x 0
20
洛必达法则
2. 型
步骤: 0
练习 求 lim (
x1
通分
0
1 x 1
( 0 0 )
2 x 1
2

).
()
解 原 式 lim
例 lim
x e
n
n2 n1 n n( n 1) x xnx e x lim ( ( 解x原式 ,lim x , ) , ln2 x x . ) x x e e n x
x
x
( n : 正整数 , 0 ) (

ln(cot x )
解
原式 lim e
x 0
e x 0
1
lim
ln(cot x ) ln x
(

)
e
x 0
lim
2 cot x sin x 1 x
1
e
1
.
23
洛必达法则
1
例
求 lim x
x1
1 x
(1 )

1
解
1 x 原式 lim e
x1
ln x